pierwiastki

[kazekek]

Liczba 2 jest pierwiastkiem równania x^3-(4p+2)x^2+ (8p-5)x + 10 = 0. Wyznacz wartość parametru p, wiedząc, że dany pierwiastek jest średnią arytmetyczną pozostałych.

[LecHu :)]

Po podzieleniu Hornerem przez x-2 masz:

\(\displaystyle{ (x-2)(x^{2}-4px-5)=0}\)

Piszesz wzór viete'a na sumę pierwiastków:
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a}}\)
a=1
Wiesz też, że:
\(\displaystyle{ \frac{x_{1}+x_{2}}{2}=2 => x_{1}+x_{2}=4}\)
Więc:
\(\displaystyle{ 4=4p => p=1}\)

[Lorek]

Wielomian ma pierwiastki \(\displaystyle{ x_1,x_2,x_3}\). Przyjmijmy \(\displaystyle{ x_2=2}\). Wiemy, że
\(\displaystyle{ \frac{x_1+x_3}{2}=x_2\Rightarrow x_1+x_3=4\Rightarrow x_1+x_2+x_3=6}\)
a z wzorów Viete'a
\(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3=\frac{-b}{a}\Leftrightarrow 6=\frac{-b}{1}\Rightarrow 4p+2=6}\)