Równanie wielomianowe

adambak · Post autor: **adambak** » 16 kwie 2011, o 18:09

Znaleźć wszystkie wielomiany \(\displaystyle{ w(x)}\), dla których równość: \(\displaystyle{ (w(x))^{2}=w(x^{2})}\) zachodzi dla wszystkich liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x}\).

Jak coś takiego rozpisać i dojść do wyniku za pomocą obliczeń? Do tej pory miałem styczność tylko z bardzo prostymi równaniami funkcyjnymi, tutaj nie potrafię znaleźć tego wielomianu. Od razu jednak widzę że może być \(\displaystyle{ w(x)=0}\) lub jakikolwiek wielomian w postaci \(\displaystyle{ w(x)=x^{n}}\) (oczywiście skoro mówimy o wielomianach to \(\displaystyle{ n \in N}\), funkcja stała różna od zera nie może być bo już nie działa), bo albo funkcja parzysta, albo nieparzysta, ale czy takie uzasadnienie wystarczy? Chciałbym umieć to jakoś obliczyć

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 16 kwie 2011, o 20:06

adambak pisze: \(\displaystyle{ w(x)=x^{n}}\) (oczywiście skoro mówimy o wielomianach to \(\displaystyle{ n \in N}\), funkcja stała różna od zera nie może być bo już nie działa)

Najpierw stwierdziłeś, że \(\displaystyle{ x^n}\) działa, a chwilę później, że funkcja stała różna od zera nie działa. To co z funkcją stale równą jeden?

W zadaniu możesz skorzystać z nierówności pomiędzy średnią kwadratową i arytmetyczną. Konkretnie z warunku, jaki musi być spełniony, żeby była równość pomiędzy tymi średnimi.

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 16 kwie 2011, o 20:19

W zadaniu możesz skorzystać z nierówności pomiędzy średnią kwadratową i arytmetyczną. Konkretnie z warunku, jaki musi być spełniony, żeby była równość pomiędzy tymi średnimi.

Współczynniki \(\displaystyle{ w(x^2)}\) na ogół nie są kwadratami współczynników \(\displaystyle{ w(x)}\).

Widać, że są dwa wielomiany stałe spełniające to równanie. Załóżmy, że \(\displaystyle{ \deg w\geq 1}\), oznaczmy \(\displaystyle{ w = a_0+\ldots + a_nx^n}\).

Bezpośredni rachunek daje nam \(\displaystyle{ a_n=a_n^2}\), co z założenia o stopniu znaczy tyle, co \(\displaystyle{ a_n=1}\). Dalej widzimy, że \(\displaystyle{ 2a_na_{n-1}=0}\), skąd \(\displaystyle{ a_{n-1}=0}\), \(\displaystyle{ 2a_na_{n-2}+a_{n-1}^2 = a_{n-1}}\), skąd \(\displaystyle{ a_{n-2}=0}\) itd., tzn. w każdym kolejnym równaniu pojawiają się elementy, o których wcześniej stwierdziliśmy, że są zerowe.
Najlepiej sam sobie otwórz nawias w \(\displaystyle{ \left[w(x)\right]^2}\) i pogrupuj wyrazy.

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 16 kwie 2011, o 20:27

Tomasz Rużycki pisze: Współczynniki \(\displaystyle{ w(x^2)}\) na ogół nie są kwadratami współczynników \(\displaystyle{ w(x)}\).

Chodziło mi o ważone średnie, czyli po prostu o Jensena dla funkcji kwadratowej. Ale racja że palnąłem zanim pomyślałem. Chciałem się wykpić z rachunków, ale moje rozwiązanie byłoby dobre tylko dla wielomianów o nieujemnych współczynnikach.

adambak · Post autor: **adambak** » 17 kwie 2011, o 18:44

norwimaj pisze: Najpierw stwierdziłeś, że \(\displaystyle{ x^n}\) działa, a chwilę później, że funkcja stała różna od zera nie działa. To co z funkcją stale równą jeden?

faktycznie nieprecyzyjnie to ująłem.. ale miałem na myśli że funkcja stała różna od zera nie działa, a wbrew pozorom o stale równej jeden pamiętałem, bo zaliczyłem ją do ogólnego wzoru: \(\displaystyle{ x^n}\), bo dla \(\displaystyle{ n=0}\), ale racja że mało precyzyjnie, tak sobie tylko rozmyślałem głośno bo nie bardzo wiem jak to zapisać, a nie lubię w matematyce zgadywać - moim zdaniem skoro da się zgadnąć to da się też zapisać

dopiero zrozumiałem co napisał Tomasz Rużycki (wczoraj byłem już zbyt zmęczony z braku snu).
Tak czy siak, dziękuję Wam obu..