dowód na brak rozwiązań w przedziale

[s0ull]

Witam, prosiłbym o pomoc z następującym zadaniem:

Wykaż, że równanie \(\displaystyle{ x ^{5}+x ^{2}+x+1=0}\) nie ma rozwiązań w przedziale (-1;1)

[kamil13151]

Zauważ, że pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ -1}\).

[s0ull]

Widziałem, ale wielomian który zostaje po przedzieleniu przez (x+1) nie ma pierwiastków wymiernych i tu nie bardzo wiem jak udowodnić, że nie ma też żadnych należących do danego przedziału

[pawelsuz]

to można pokazać że wielomian w tym przedziale nie zmienia znaku, co bedzie rownowazne z tym co chcemy. A do tego najprosciej pochodna:) Nie sprawdzalem jak wychodzi tutaj ale jesli wyjdzie ze od -1 jest dodatni i rosnie do 1 albo ujemny i maleje to po zadaniu:>

[kamil13151]

Udowodnij, że nierówność nie ma rozwiązania:

\(\displaystyle{ x^4-x^3+x^2+1<1}\)

Powinno się udowodnić, że większy od -1 a mniejszy od 1, ale akurat w tym przypadku cały przedział nie będzie miał miejsc zerowych.

[pawelsuz]

Sprawdzilem, ta wyjsciowa funkcja ciagle rosnie, od -1 jest dodatnia. Czyli prosty rachunek pochodnych zalatwi sprawe

[Mariusz M]

Metodę bisekcji zna ?



Funkcja ciągła \(\displaystyle{ f\left( x\right)}\) ma miejsce zerowe na przedziale \(\displaystyle{ \left( a,b\right)}\)

jeżeli

\(\displaystyle{ f\left( a\right) \cdot f\left( b\right)<0}\)

Ja to wziąłem z metody bisekcji ale podobno twierdzenie Bolzano-Cauchy'ego
ma podobną postać

[mkb]

Bez pochodnych:
- w przedziale \(\displaystyle{ <0;1)}\) - oczywiste, każdy składnik lewej strony dodatni
- w przedziale \(\displaystyle{ (-1;1)}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ x^5+x^2=x^2(x^3+1)>0}\) oraz \(\displaystyle{ x+1>0}\) i lewa strona także dodatnia

[Qń]

Funkcja ciągła \(\displaystyle{ f\left( x\right)}\) ma miejsce zerowe na przedziale \(\displaystyle{ \left( a,b\right)}\)
jeżeli
\(\displaystyle{ f\left( a\right) \cdot f\left( b\right)<0}\)

Ale z tego nie wynika teza, bo twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, to znaczy nie jest prawdą, że jeśli \(\displaystyle{ f(a)\cdot f(b)\ge 0}\), to w przedziale \(\displaystyle{ (a,b)}\) nie ma pierwiastka.

Q.