Rozkład na czynniki liniowe, wyznaczanie parametrów

[Anzelm]

Witam, mam do rozwiązania dwa zadania:
1. Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x)=8x ^{3} + 3x ^{2} - 4}\)
a) rozłóż wielomian na czynniki liniowe. Podaj pierwiastki wielomianu i określ ich krotność.
b) zbadaj czy istnieją takie wartości \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) aby wielomiany \(\displaystyle{ W(x)}\) oraz \(\displaystyle{ Q(x)=(x + a)(x ^{2} + bx + 1)}\) były równe. Jeśli istnieją to je wyznacz.

2. Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x)=-3x ^{3} + m ^{2}x ^{2} + 5x - 2}\) gdzie \(\displaystyle{ m}\) jest parametrem i \(\displaystyle{ m \in R}\)
a) dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\), reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez dwumian \(\displaystyle{ (x-2)}\) jest równa \(\displaystyle{ 20}\)?
b) ustal wzór wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) jeśli wiadomo, że jeden z pierwiastków tego wielomianu wynosi \(\displaystyle{ -1}\). Następnie oblicz pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\).

Z góry dziękuję za pomoc.

[anna_]

1. sprawdź czy dobrze przepisałeś wielomian.

2.
a)
policz \(\displaystyle{ W(2)=20}\)

b)
policz
\(\displaystyle{ W(-1)=0}\)

[Anzelm]

W drugim zadaniu, podpunkt b) - obliczyłem \(\displaystyle{ W(-1)=0}\) i wyszło \(\displaystyle{ W(x)=-3x ^{3} + 4x ^{2} + 5x - 2}\). W jaki sposób wyznaczyć teraz pozostałe pierwiastki wielomianów?

[anna_]

jednym z pierwiastków jest \(\displaystyle{ -1}\)
czyli
\(\displaystyle{ W(x)=-3x^3 + 4x^2 + 5x - 2=(x+1)(- 3x^2 + 7x - 2)}\)
delta i pierwiastki

[Mariusz M]

Ad 1.

Zastosuj podstawienie

\(\displaystyle{ x=y- \frac{1}{8}}\)

Dostaniesz równanie

\(\displaystyle{ y^{3}+py+q=0}\)

Następnie zastosuj jedno z dwóch podstawień

\(\displaystyle{ y=u+v}\)

albo

\(\displaystyle{ y=u- \frac{p}{3u}}\)

a dostaniesz równanie kwadratowe