Wielomian wykazać istnienie pierwiastków

[authorr]

Wykaż, dla jakich wartości parametru p istnieją 2 różne pierwiastki

\(\displaystyle{ W(x)=5!x^{5} + 4!px^{4}+3!px^{3}}\)

Wyciągnąłem \(\displaystyle{ x^{3}}\) przed nawias następnie na to co zostało w nawiasie nałożony został warunek \(\displaystyle{ \Delta > 0}\) i dochodzę do momentu gdy mam następujące równanie:
\(\displaystyle{ p(4!^{2}p-80 \cdot 3!^{2})>0}\)
no i jest problem bo gdy próbuję rozwiązać to przedział jaki mi wychodzi to \(\displaystyle{ p \in (0;+ \infty )}\)

Proszę o podpowiedź

[silvaran]

\(\displaystyle{ 5!=5\cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \\
4!=4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \\
3!=3 \cdot 2 \cdot 1}\)

Więc zamiast wyłączać tylko \(\displaystyle{ x^3}\) wyłącz \(\displaystyle{ 3!\cdot x^3}\), będziesz miał mniejsze liczby, trudniej wtedy o pomyłkę

To po pierwsze. A po drugie, gdzie w tym wielomianie jest parametr p?

[authorr]

istotnie pominąłem najważniejszy element już poprawiłem,

nie problem dojść do wyników 0 i 5 które to są prawidłowymi rozwiązaniami krańców przedziału ale problemem jest dla mnie określenie przedziału który w prawidłowym rozwiązaniu wynosi \(\displaystyle{ (- \infty ;0) \cup (5;+ \infty )}\)

[Mistrz]

Przecież to, co napisałeś:
\(\displaystyle{ p(4!^{2}p-80 \cdot 3!^{2})>0}\)
jest równoważne temu, że \(\displaystyle{ p(p-5) > 0}\),
a rozwiązaniem tego jest właśnie \(\displaystyle{ (- \infty ;0) \cup (5;+ \infty )}\),
czyli wygląda na to, że po prostu źle rozwiązałeś równanie kwadratowe.
Wiesz, co zrobić, gdy \(\displaystyle{ \Delta \le 0}\)?

[kamil13151]

Przecież nie jest równoważne...
\(\displaystyle{ p(4!^{2}p-80 \cdot 3!^{2}) \neq p(p-5)}\)

\(\displaystyle{ p(16p^2 - 80 \cdot 6p) = 16p(p-20)}\)

\(\displaystyle{ W(x)=120x^5+24px^4+6px^3=6x^3(20x^2+4px+p)}\)

\(\displaystyle{ \Delta >0\\
(4p)^2-4 \cdot 20p = 16p^2-80p = 16p(p-5) > 0}\)

[Mistrz]

Nie zgodzę się z równością \(\displaystyle{ p(16p^2 - 80 \cdot 6p) = 16p(p-20)}\)
Ja rozumowałem tak:
\(\displaystyle{ p(4!^{2}p-80 \cdot 3!^{2}) = 3!^2p(4^2p - 80) = 6^2p(16p-80) = 36 \cdot 16 \cdot p(p-5)}\)
Teraz, dzieląc nierówność \(\displaystyle{ 36 \cdot 16 \cdot p(p-5) > 0}\) stronami przez iloczyn \(\displaystyle{ 36 \cdot 16}\) otrzymamy równoważną nierówność \(\displaystyle{ p(p-5) > 0}\).

[kamil13151]

Ten kwadrat przy silni to jest źle napisany, bo niby jak by się tam znalazł?

[Mistrz]

Według mnie znalazł się tam tak, że authorr rozpisał sobie wyróżnik równania \(\displaystyle{ 5!x^2 + 4!px + 3!p = 0}\) i tyle właśnie mu wyszło. Myślę, że ten kwadrat przy silni właśnie tam powinien stać.

[kamil13151]

Rzeczywiście, nie spojrzałem na to z tej strony, mój błąd .