Witam, mam za zadanie znaleźć pierwiastki wielomianu:
\(\displaystyle{ -3x ^{4} + 3x ^{3} + 3x ^{2} + 3x + 6}\)
Problem polega na tym, że nie za bardzo widzę co można by było wyrzucić przed nawias.
Nie proszę o rozwiązanie. Jedynie żeby ktoś naprowadził co można wyciągnąć przed nawias.
Jeżeli jest to nie możliwe, może poleci ktoś jakiś inny sposób
Pozdrawiam Guilty
Wyszukiwanie pierwiastków wielomianu.
-
szw1710
Wyszukiwanie pierwiastków wielomianu.
Jeśli chcesz rozkładać na czynniki metodą grupowania wyrazów, to czasem zabiegi rozdzielające (np. \(\displaystyle{ 6x^7=2x^7+4x^7}\)) przynoszą efekt. Możesz tez korzystać z twierdzenia Bezouta wyszukawszy uprzednio pierwiastek całkowity (jeśli istnieje) spośród dzielników wyrazu wolnego.
-
Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1502
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 475 razy
Wyszukiwanie pierwiastków wielomianu.
Jest własność:jeżeli naprzemienna suma kolejnych wspólczynników wielomianu się zeruje, to liczba minus jeden jest pierwiastkiem, a to zachodzi dla twojego wielomianu: \(\displaystyle{ -3-3+3-3+6=0}\) .Możesz podzielić przez dwumian i zobaczyć, co dalej powstaje.Guilty pisze:Witam, mam za zadanie znaleźć pierwiastki wielomianu:
\(\displaystyle{ -3x ^{4} + 3x ^{3} + 3x ^{2} + 3x + 6}\)
Problem polega na tym, że nie za bardzo widzę co można by było wyrzucić przed nawias.
Nie proszę o rozwiązanie. Jedynie żeby ktoś naprowadził co można wyciągnąć przed nawias.
Jeżeli jest to nie możliwe, może poleci ktoś jakiś inny sposób
Pozdrawiam Guilty
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Wyszukiwanie pierwiastków wielomianu.
Ja znam dwa pomysły na to równanie
Jak masz równanie
\(\displaystyle{ a_{4}x^4+a_{3}x^3+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}\)
to możesz je rozłożyć na iloczyn dwóch trójmianów
albo za pomocą odpowiednich podstawień sprowadzić to równanie do
układu równań który przypomina wzory Viete'a dla równania trzeciego stopnia
Jak rozłożyć na iloczyn dwóch trójmianów ?
Tutaj widzę dwie możliwości
Sprowadź równanie do postaci
\(\displaystyle{ x^4+px^2+qx+r=0}\)
podstawiając
\(\displaystyle{ x=y-\frac{a_{3}}{4a_{4}}}\)
Zapisz dwa trójmiany kwadratowe w postaci ogólnej,
wymnóż je i porównaj współczynniki
\(\displaystyle{ \left( x^2+ax+b\right)\left( x^2+cx+d\right)=x^4+px^2+qx+r}\)
Wielomian czwartego stopnia można rozłożyć na czynniki kwadratowe także
korzystając ze wzorów skróconego mnożenia (kwadrat sumy/różnicy oraz różnica kwadratów)
oraz z własności wyróżnika trójmianu
Masz równanie postaci
\(\displaystyle{ x^4+a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}=0}\)
i chcemy je rozłożyć na czynniki kwadratowe
korzystając ze wzorów skróconego mnożenia oraz z wyróżnika trójmianu
\(\displaystyle{ x^4+a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}=0}\)
Przenosimy trójmian kwadratowy na drugą stronę równania
\(\displaystyle{ x^4+a_{3}x^3=-a_{2}x^2-a_{1}x-a_{0}=0}\)
Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy/różnicy
sprowadzamy lewą stronę do kwadratu
\(\displaystyle{ x^4+a_{3}x^3+\frac{a_{3}^2}{4}x^2=\left( \frac{a_{3}^2-4a_{2}}{4} \right) x^2-a_{1}x-a_{0}\\
\left( x^2+\frac{a_{3}}{2}x\right)^2 =\left( \frac{a_{3}^2-4a_{2}}{4} \right) x^2-a_{1}x-a_{0}\\}\)
Teraz chcemy sprowadzić prawą stronę równania do kwadratu
Trójmian kwadratowy jest kwadratem gdy jego wyróżnik jest równy zero
Aby móc z tego twierdzenia skorzystać wprowadźmy nową zmienną
tak aby lewa strona nadal była pełnym kwadratem
(znowu korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy/różnicy)
Po wprowadzeniu nowej zmiennej wyróżnik prawej strony równania się od niej uzależni
i będziemy mogli przyrównać go do zera
\(\displaystyle{ \left( x^2+\frac{a_{3}}{2}x+ \frac{y}{2} \right)^2=\left( y+ \frac{a_{3}^2-4a_{2}}{4} \right) x^2+\left(\frac{a_{3}}{2}y-a_{1} \right)x+ \frac{y^2}{4}-a_{1}}\)
Przyrównujemy wyróżnik trójmianu do zera i dostajemy równanie
\(\displaystyle{ \left(\frac{a_{3}}{2}y-a_{1} \right)^2=\left( y^2-4a_{1}\right)\left( y+ \frac{a_{3}^2-4a_{2}}{4} \right)\\
\frac{a_{3}^2}{4}y^2-a_{1}a_{3}y+a_{1}^2=y^3+\frac{a_{3}^2}{4}y^2-a_{2}y^2-4a_{1}y-a_{1}a_{3}^2-4a_{1}a_{2} \\
y^3-a_{2}y^2+\left( a_{1}a_{3}-4a_{1}\right)y+a_{1}a_{3}^2-4a_{1}a_{2}-a_{1}^2=0}\)
Po wstawieniu obliczonej wartości y
do równania czwartego stopnia obie strony będą kwadratami
a gdy skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów
to dostaniemy iloczyn dwóch trójmianów
Równanie czwartego stopnia postaci
\(\displaystyle{ a_{4}x^4+a_{3}x^3+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}\)
może być sprowadzone do
układu równań który przypomina wzory Viete'a dla równania trzeciego stopnia
następującymi podstawieniami
\(\displaystyle{ x=y-\frac{a_{3}}{4a_{4}}}\)
a następnie
\(\displaystyle{ 2y=u+v+w}\)
Przedstawione w tej wiadomości metody nadają się dla każdego równania
czwartego stopnia i nie trzeba się zastanawiać jak pogrupować wyrazy
W tym przypadku jak chcesz grupować to
\(\displaystyle{ -3\left( x^4-x^3-x^2-x-2\right)=0\\
-3\left( x^4-x^3-2x^2+x^2-x-2\right)=0\\
-3\left( x^2\left(x^2-x-2 \right)+\left( x^2-x-2\right) \right)=0}\)
etc
Jak masz równanie
\(\displaystyle{ a_{4}x^4+a_{3}x^3+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}\)
to możesz je rozłożyć na iloczyn dwóch trójmianów
albo za pomocą odpowiednich podstawień sprowadzić to równanie do
układu równań który przypomina wzory Viete'a dla równania trzeciego stopnia
Jak rozłożyć na iloczyn dwóch trójmianów ?
Tutaj widzę dwie możliwości
Sprowadź równanie do postaci
\(\displaystyle{ x^4+px^2+qx+r=0}\)
podstawiając
\(\displaystyle{ x=y-\frac{a_{3}}{4a_{4}}}\)
Zapisz dwa trójmiany kwadratowe w postaci ogólnej,
wymnóż je i porównaj współczynniki
\(\displaystyle{ \left( x^2+ax+b\right)\left( x^2+cx+d\right)=x^4+px^2+qx+r}\)
Wielomian czwartego stopnia można rozłożyć na czynniki kwadratowe także
korzystając ze wzorów skróconego mnożenia (kwadrat sumy/różnicy oraz różnica kwadratów)
oraz z własności wyróżnika trójmianu
Masz równanie postaci
\(\displaystyle{ x^4+a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}=0}\)
i chcemy je rozłożyć na czynniki kwadratowe
korzystając ze wzorów skróconego mnożenia oraz z wyróżnika trójmianu
\(\displaystyle{ x^4+a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}=0}\)
Przenosimy trójmian kwadratowy na drugą stronę równania
\(\displaystyle{ x^4+a_{3}x^3=-a_{2}x^2-a_{1}x-a_{0}=0}\)
Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy/różnicy
sprowadzamy lewą stronę do kwadratu
\(\displaystyle{ x^4+a_{3}x^3+\frac{a_{3}^2}{4}x^2=\left( \frac{a_{3}^2-4a_{2}}{4} \right) x^2-a_{1}x-a_{0}\\
\left( x^2+\frac{a_{3}}{2}x\right)^2 =\left( \frac{a_{3}^2-4a_{2}}{4} \right) x^2-a_{1}x-a_{0}\\}\)
Teraz chcemy sprowadzić prawą stronę równania do kwadratu
Trójmian kwadratowy jest kwadratem gdy jego wyróżnik jest równy zero
Aby móc z tego twierdzenia skorzystać wprowadźmy nową zmienną
tak aby lewa strona nadal była pełnym kwadratem
(znowu korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy/różnicy)
Po wprowadzeniu nowej zmiennej wyróżnik prawej strony równania się od niej uzależni
i będziemy mogli przyrównać go do zera
\(\displaystyle{ \left( x^2+\frac{a_{3}}{2}x+ \frac{y}{2} \right)^2=\left( y+ \frac{a_{3}^2-4a_{2}}{4} \right) x^2+\left(\frac{a_{3}}{2}y-a_{1} \right)x+ \frac{y^2}{4}-a_{1}}\)
Przyrównujemy wyróżnik trójmianu do zera i dostajemy równanie
\(\displaystyle{ \left(\frac{a_{3}}{2}y-a_{1} \right)^2=\left( y^2-4a_{1}\right)\left( y+ \frac{a_{3}^2-4a_{2}}{4} \right)\\
\frac{a_{3}^2}{4}y^2-a_{1}a_{3}y+a_{1}^2=y^3+\frac{a_{3}^2}{4}y^2-a_{2}y^2-4a_{1}y-a_{1}a_{3}^2-4a_{1}a_{2} \\
y^3-a_{2}y^2+\left( a_{1}a_{3}-4a_{1}\right)y+a_{1}a_{3}^2-4a_{1}a_{2}-a_{1}^2=0}\)
Po wstawieniu obliczonej wartości y
do równania czwartego stopnia obie strony będą kwadratami
a gdy skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów
to dostaniemy iloczyn dwóch trójmianów
Równanie czwartego stopnia postaci
\(\displaystyle{ a_{4}x^4+a_{3}x^3+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}\)
może być sprowadzone do
układu równań który przypomina wzory Viete'a dla równania trzeciego stopnia
następującymi podstawieniami
\(\displaystyle{ x=y-\frac{a_{3}}{4a_{4}}}\)
a następnie
\(\displaystyle{ 2y=u+v+w}\)
Przedstawione w tej wiadomości metody nadają się dla każdego równania
czwartego stopnia i nie trzeba się zastanawiać jak pogrupować wyrazy
W tym przypadku jak chcesz grupować to
\(\displaystyle{ -3\left( x^4-x^3-x^2-x-2\right)=0\\
-3\left( x^4-x^3-2x^2+x^2-x-2\right)=0\\
-3\left( x^2\left(x^2-x-2 \right)+\left( x^2-x-2\right) \right)=0}\)
etc
