Wielomiany. Uzasadnienie

[Lamacz]

Witam.
Rozwiązałem już około 50 przykładów z wielomianów i napotkałem tzw. "Opór" mianowicie:

Niech \(\displaystyle{ w(n)=n(n+1)(n+2)(n+3)+1}\)
- Wykaż, że \(\displaystyle{ w(n)=(n(n+3)+1) ^{2}}\)

Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej n liczba:
\(\displaystyle{ a)n ^{4} +2n ^{3} +n ^{2}}\) jest podzielna przez 4
\(\displaystyle{ b)n ^{3} -n}\) jest podzielna przez 6
Bardzo proszę o naprowadzenie mnie jak to trzeba zrobić, ponieważ nie wiem jak się za to zabrać.

Pozdrawiam.

[silvaran]

Możesz spróbować przemnożyć wszystkie nawiasy i wtedy wyjdzie, że wielomiany są równe.
To taki sposób brutalny, ale zadziała

[alfgordon]

2)\(\displaystyle{ n^3 -n = (n-1)n(n+1)}\)
\(\displaystyle{ n ^{4} +2n ^{3} +n ^{2} = n^2 (n+1)^2}\)

[Psiaczek]

Witam.
Rozwiązałem już około 50 przykładów z wielomianów i napotkałem tzw. "Opór" mianowicie:

Niech \(\displaystyle{ w(n)=n(n+1)(n+2)(n+3)+1}\)
- Wykaż, że \(\displaystyle{ w(n)=(n(n+3)+1) ^{2}}\)
Pozdrawiam.

Leciutką chytrością , która kończy sprawę szybko, byłoby zauważenie ,że:


\(\displaystyle{ (n+1)(n+2)=n(n+3)+2}\)

podstawienie, wykonanie działań i zwinięcie wzoru skróconego mnożenia który powstaje.

[Lamacz]

@alfgordon to cała filozofia tego zadania?

Dalej nie rozumiem tego pierwszego, jak mam to wykazać?

[alfgordon]

no nie cała filozofia, teraz zaczynają się komentarze...
\(\displaystyle{ (n-1)n(n+1)}\)

więc na pewno co najmniej jedna z tych liczb jest podzielna przez 2,
i jedna z nich jest podzielna przez 3, ( ponieważ jest to ciąg trzech następnych liczb)
więc z tego wynika, że ta liczba jest podzielna przez 6