Rozkładanie wielomianu na czynniki liniowe

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Dovv90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 243
Rejestracja: 12 mar 2011, o 15:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 153 razy

Rozkładanie wielomianu na czynniki liniowe

Post autor: Dovv90 »

Mam takie male zadanko:

Rozłóż wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^{3}-2x^2-9x+18}\) na czynniki liniowe- odpowiedzi są w formie np. (x+2)(x-3)(x+3), czyli trzech pomnożonych nawiasów. I tak, umiałbym zrobić tak:
\(\displaystyle{ x^2(x-2)-9(x-2)}\)
albo podzielić przez (x-b) gdzie "b" to ten dzielnik, i zapisać w formie pomnożonego nawiasu z równaniem kwadratowym i liniowym, np (x^2-x+6)(x-9).
Ale tutaj nie wiem, mam sobie to podzielić w taki sposób i potem zamienić nawias z równaniem kwadratowym na dwa równania liniowe? Jeśli tak, to ok, ale jeśli nie to może jest szybsza metoda o której nie wiem.
Awatar użytkownika
Quaerens
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2489
Rejestracja: 5 wrz 2007, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 439 razy
Pomógł: 181 razy

Rozkładanie wielomianu na czynniki liniowe

Post autor: Quaerens »

\(\displaystyle{ W(x)=x^{2}(x-2)-9(x-2)}\)

Dwa nawiasy się powtarzają zatem je przepisujemy. \(\displaystyle{ x^{2}-9=(x-3)(x+3)}\)

Dovv90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 243
Rejestracja: 12 mar 2011, o 15:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 153 razy

Rozkładanie wielomianu na czynniki liniowe

Post autor: Dovv90 »

To znaczy ok, rozumiem skąd wziąłeś \(\displaystyle{ x^2-9}\), ale chciałbym to jakoś uformalizować. Czyli jeśli mam tak jak tutaj, że dwa nawiasy sie powtarzają, to przepisuję czyli co robie? Chodzi ci o to że jeden mam tak jakby olać? I wtedy w tej kolejności robię najpierw to co wykombinowałem, czyli (x-2) a potem dopiero (x-3)(x+3)? Czyli (x-2)(x-3)(x+3)?
Awatar użytkownika
Quaerens
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2489
Rejestracja: 5 wrz 2007, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 439 razy
Pomógł: 181 razy

Rozkładanie wielomianu na czynniki liniowe

Post autor: Quaerens »

Tak jakby dokładnie "olać" Bo tak jakby 2 jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu. Dalsza część jest w porządku.
Dovv90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 243
Rejestracja: 12 mar 2011, o 15:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 153 razy

Rozkładanie wielomianu na czynniki liniowe

Post autor: Dovv90 »

O widzisz, dziękuję .
Przedstawieniem wyrażenia \(\displaystyle{ 4-x^2+2xy-y^2}\) w postaci iloczynu jest?
Jedna z odpowiedzi to \(\displaystyle{ ((x-y) - 2 ) ((x-y) + 2)}\), przepisuję tylko ją żeby dać obraz tego jak ma wyglądać mniej jej forma.
Jak z kolei do takiego zadanka podejść? Nie przychodzi mi na myśl jak to sobie sensownie rozłożyć na jakies wielomiany pierwszego stopnia albo coś takiego. Jakieś pomysły damianplflow?
Awatar użytkownika
Quaerens
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2489
Rejestracja: 5 wrz 2007, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 439 razy
Pomógł: 181 razy

Rozkładanie wielomianu na czynniki liniowe

Post autor: Quaerens »

\(\displaystyle{ (-x^{2}-y^{2}+2xy+4) / \cdot (-1)=x^{2}+y^{2}-2xy-4=x^{2}-2xy+y^{2}-4=x(x-2y)+(y-2)(y+2) \vee (:))}\)

Generalnie w tę stronę można iść, oczywiście nie patrząc na odpowiedzi dostępne, a posługując się intuicją, pogrupujmy wyrazy odpowiednio tak, aby potem móc skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia.

U mnie pierwszy krok to zmiana znaku na przeciwny ( po prostu miałem wizję, że mi to pomoże ):

\(\displaystyle{ ](-x^{2}-y^{2}+2xy+4) / \cdot (-1)=x^{2}+y^{2}-2xy-4}\)

Drugi to pogrupowanie wyrazów tak, abym mógł skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia:

\(\displaystyle{ x^{2}-2xy+y^{2}-4}\)

Na początku wyciągam ixa przed nawias, a drugie wyrażenia rozkładam według wzoru: \(\displaystyle{ a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)}\):

\(\displaystyle{ x(x-2y)+(y-2)(y+2)}\)

Pobaw się w ten sposób. Niestety pamiętaj, że czasem będzie trzeba coś dodać/odjąć zachowując wartość wyrażenia. Mnie się udało rozbić to na iloczyn dwóch nawiasów o 3 składnikach. W razie problemów napisz.

Wskazówka:
Ukryta treść:    
Dovv90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 243
Rejestracja: 12 mar 2011, o 15:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 153 razy

Rozkładanie wielomianu na czynniki liniowe

Post autor: Dovv90 »

Omg dzięki wielkie, ale żeś się rozpisał . Chyba jest to już dla mnie jasne, jeszcze muszę to przeanalizować.
Awatar użytkownika
Quaerens
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2489
Rejestracja: 5 wrz 2007, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 439 razy
Pomógł: 181 razy

Rozkładanie wielomianu na czynniki liniowe

Post autor: Quaerens »

\(\displaystyle{ (x^{2}-2xy+y^{2})-4}\)

Zajmijmy się elementem w nawiasie. Zwiń go we wzorek skróconego mnożenia, a na końcu, aby zrobić postać iloczynową skorzystaj z:

\(\displaystyle{ (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}}\)

Gotowe
ODPOWIEDZ