Parametr m dla dwóch pierwiastków

[Juras281]

Dany jest wielomian W(x)= \(\displaystyle{ x^{4}}\)-(m-2) \(\displaystyle{ x^{2}}\)+m.
Wyznacz zbiór wszystkich wartości parametru m, dla których ten wielomian ma 2 pierwiastki.

[mateuszek89]

\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta=0 \\ x_0>0 \end{cases}}\)
lub
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta>0 \\ x_1 \cdot x_2<0 \end{cases}}\)
Pozdrawiam!

[Juras281]

No tak, mam też w rozwiązaniu, ale skąd te warunki? Wiem, że delta ma być większa od zera, bo wtedy ma dwa pierwiastki, ale dlaczego x1 x x2 jest mniejsze od zero? i dlaczego delta większa od 0, a x0 jest większe od 0? mógłbyś mi to wytłumaczyć? siedziałem nad tym kilka godzin.

[mateuszek89]

Po podstawieniu \(\displaystyle{ t=x^2}\) dostajesz równanie kwadratowe. Wtedy zauważ, że jeśli \(\displaystyle{ \Delta=0}\) to mamy jedno rozwiązanie \(\displaystyle{ x_0}\) wyjściowego równania (\(\displaystyle{ t^2-(m-2)t+m}\)) tzn. \(\displaystyle{ W(x)=(t-x_0)^2=(x^2-x_0)^2}\), jeśli \(\displaystyle{ x_0>0}\) to mamy 2 rozwiązania ostatecznie.
Jeśli \(\displaystyle{ \Delta>0}\) to mamy 2 rozw. wyjściowego równania i \(\displaystyle{ W(x)=(t-x_1)(t-x_2)=(x^2-x_1)(x^2-x_2)}\), wtedy jeśli mamy mieć 2 rozw. to musi jedno być ujemne(załóżmy, że \(\displaystyle{ x_1}\)), bo wtedy równanie \(\displaystyle{ x^2=x_1}\) nie ma rozwiązań, a równanie \(\displaystyle{ x^2=x_2}\), gdzie \(\displaystyle{ x_2>0}\) ma 2 rozwiązania. Stąd ostatecznie mamy 2 rozwiązania.
Pozdrawiam!