Równanie sześcienne

[kamil13151]

Cześć, mam takie równanie: \(\displaystyle{ x^3+x-2=0}\) - wiem, że \(\displaystyle{ x=1}\) i można wykorzystać twierdzenie Bezout'a, ale uczę się nowej metody

Może ktoś powiedzieć dlaczego jest nie tak?
\(\displaystyle{ x^3+x-2=0\\
x=a+b\\
(a+b)^3+(a+b)-2=0\\
a^3+b^3+3a^2b+3ab^2 +(a+b)-2=0\\
a^3+b^3+(a+b)3ab +(a+b)-2=0\\
a^3+b^3+(a+b)(3ab+1)-2=0\\}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a^3+b^3 = 2 \\ ab = - \frac{1}{3} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a^3+b^3 = 2 \\ a^3b^3 = - \frac{1}{27} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ z^2-2z- \frac{1}{27}=0\\
\Delta = 4+ \frac{4}{27} = \frac{112}{27}\\\\
z = \frac{2 \pm \sqrt{ \frac{112}{27} } }{2}}\)

\(\displaystyle{ x= \sqrt[3]{\frac{2 + \sqrt{ \frac{112}{27} } }{2}} + \sqrt[3]{\frac{2 - \sqrt{ \frac{112}{27} } }{2}}}\)

Lecz ten wynik nie równa się jeden:

Kod: Zaznacz cały

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%282%2B%28112%2F27%29^%281%2F2%29%29%2F2%29^%281%2F3%29%2B%28%282-%28112%2F27%29^%281%2F2%29%29%2F2%29%29^%281%2F3%29

[Errichto]

IMHO beznadziejna ta metoda.

Skąd to:
\(\displaystyle{ z^2-2z- \frac{1}{27}=0}\)
?

[kamil13151]

viewtopic.php?f=27&t=243245

[Vax]

Tej metody używa się, kiedy wszystkie inne nie działają, najczęściej przy źle przepisanym przykładzie W Twoim rozwiązaniu nie ma błędu, nasze rozwiązanie jest równe 1:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{\frac{2+\sqrt{\frac{112}{27}}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{2-\sqrt{\frac{112}{27}}}{2}} = \sqrt[3]{\frac{2+4\sqrt{\frac{7}{27}}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{2-4\sqrt{\frac{7}{27}}}{2}} = \\ \\ = \sqrt[3]{1+2\sqrt{\frac{7}{27}}}+\sqrt[3]{1-2\sqrt{\frac{7}{27}}} = \sqrt[3]{(\frac{3+\sqrt{21}}{6})^3} + \sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{21}}{6}} = \frac{3+\sqrt{21}+3-\sqrt{21}}{6} = 1}\)

Pamiętaj, że jak masz pierwiastki nieparzystego stopnia, to nigdy nie wrzucaj tego do wolframu, przyjmuje on, że takie pierwiastki nie są rzeczywiste, w takich wypadkach polecam google, wpisz ten kod w wyszukiwarkę:

Kod: Zaznacz cały

((2+(112/27)^(1/2))/2)^(1/3) + ((2-(112/27)^(1/2))/2)^(1/3)

A otrzymasz w wyniku 1

Pozdrawiam.

[kamil13151]

Vax, dzięki a myślałem, że wolfram alpha nieomylny Derive też nie może obliczyć.

Dlaczego musimy przyjąć, że współczynnik kierunkowy wynosi 1?

[Quaerens]

kamil13151, \(\displaystyle{ z}\) najczęściej oznacza postać liczby zespolonej więc używaj inny oznaczeń. Lub zaznacz w jakim ciele rozwiązujesz równanie.

[Vax]

Dlaczego musimy przyjąć, że współczynnik kierunkowy wynosi 1?

Nie musimy, ale tak jest najłatwiej, przyjmując np, że \(\displaystyle{ a=2}\) otrzymujemy równanie kwadratowe, które i tak ma te same pierwiastki co podane przez Ciebie w 1 poście

Pozdrawiam.

[kamil13151]

\(\displaystyle{ x^2+x-2=0 \Rightarrow x=-2 \vee x=1}\)

a gdy współczynnik \(\displaystyle{ a=3}\)
\(\displaystyle{ 3x^2+x-2=0 \Rightarrow x=-1 \vee x= \frac{2}{3}}\)

Nie takie same?

[Errichto]

\(\displaystyle{ 3x^2+3x-6=0}\) jakby co.

[Vax]

@kamil13151 nie o to chodziło, w naszym przypadku mamy:

\(\displaystyle{ \begin{cases} -\frac{b}{a} = 2 \\ \frac{c}{a} = -\frac{1}{27}\end{cases}}\)

Z tego układu przyjmując, że \(\displaystyle{ a=1}\) otrzymujemy równanie podane przez Ciebie w pierwszym poście, przyjmując, że np \(\displaystyle{ a=2}\) otrzymamy inne równanie, ale mające te same pierwiastki

Pozdrawiam.

[Mariusz M]

IMHO beznadziejna ta metoda.

Skąd to:
\(\displaystyle{ z^2-2z- \frac{1}{27}=0}\)
?

To się wzięło ze wzorów Viete'a

IMHO to jest dobra metoda bo działa dla każdego równania trzeciego stopnia
a co za tym idzie nie trzeba się sprawdzać czy pierwiastek jest
wśród dzielników wyrazu wolnego nie trzeba też się zastanawiać
jak pogrupować wyrazy
Ta metoda nie jest aż tak bardzo skomplikowana aby nie stosować jej od razu
bez bawienia się dzielnikami wyrazu wolnego oraz grupowaniem wyrazów

Jeżeli jednak pierwiastki równania są nam potrzebne do dalszych rachunków
np do rozłożenia wielomianu czwartego stopnia na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych
to może jednak warto najpierw poszukać tych innych metod

Wiesz co nieco o liczbach zespolonych ?
(szw1710 daj mi ostrzeżenie za lekceważenie autora tematu)
Bez zespolonych nie będziesz wiedział dlaczego pierwiastki mogą być wyrażone
funkcjami trygonometrycznymi

W swoim rozwiązaniu znalazłeś tylko jedną parę liczb a ,b
Korzystając z zespolonych pierwiastków z jedynki
możesz znaleźć jeszcze dwie takie pary liczb a, b
aby spełniały one układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} a^3+b^3 = 2 \\ ab = - \frac{1}{3} \end{cases}}\)

Z powyższego układu równań widać jak dobrać zespolone pierwiastki z jedynki aby
otrzymać pozostałe pierwiastki z jedynki

Zespolone pierwiastki z jedynki to

\(\displaystyle{ \varepsilon_{1}=\exp{ \frac{2i\pi}{3} }\\
\varepsilon_{2}=\exp{ \frac{4i\pi}{3} }}\)

[Errichto]

O zespolonych trochę wiem ale jest to b. małe trochę.
Co do sposobu to jak dotąd nie spotykałem zbyt często się z wielomianami, które nie dałoby się łatwo rozbić. Metoda wydała mi się dosyć skomplikowana, niepotrzebna raczej, no ale skoro autor chce się nauczyć to ok.
I zwracam uwagę, że to tylko imHo.