Prosty wielomian

marcinek16marcin · Post autor: **marcinek16marcin** » 29 mar 2011, o 18:02

Wielomian \(\displaystyle{ x ^{4}-(a-b)x ^{3}+(a+b) x^{2}-3x}\) jest podzielny przez wielomian \(\displaystyle{ x ^{3}-4x ^{2}+3x}\).Oblicz a i b.

Errichto · Post autor: **Errichto** » 29 mar 2011, o 18:16

Ten drugi to inaczej \(\displaystyle{ x(x-3)(x-1)}\), a pierwszy musi mieć pierwiastki drugiego (plus ew. dodatkowe).

marcinek16marcin · Post autor: **marcinek16marcin** » 29 mar 2011, o 19:12

czyli a=3 a b=1?

Errichto · Post autor: **Errichto** » 29 mar 2011, o 19:21

Trójka nie byłaby pierwiastkiem.

\(\displaystyle{ b}\) jest dobrze, tylko \(\displaystyle{ a}\) musi być inne.

marcinek16marcin · Post autor: **marcinek16marcin** » 30 mar 2011, o 14:43

nie bardzo rozumiem.. a możesz napisać dlaczego?

Errichto · Post autor: **Errichto** » 30 mar 2011, o 15:43

Jest podzielny przez \(\displaystyle{ x(x-3)(x-1)}\).
Czyli \(\displaystyle{ 0, \ 1, \ 3}\) są też pierwiastkami szukanego wielomianu.
Gdy za \(\displaystyle{ x}\) podstawisz \(\displaystyle{ 0}\), wielomian ma przyjąć wartość \(\displaystyle{ 0}\). Gdy weźmiesz \(\displaystyle{ x=1}\), też ma wyjść \(\displaystyle{ 0}\). Przy podstawieniu \(\displaystyle{ x=3}\) też wyjdzie \(\displaystyle{ 0}\).

marcinek16marcin · Post autor: **marcinek16marcin** » 30 mar 2011, o 18:41

a no to ja tak robilem, i wyszly mi takie wyniki.. czyli źle coś policzyłem , bo mówisz że a takie nie może być,więc przelicze jeszcze raz.

opti · Post autor: **opti** » 30 mar 2011, o 20:01

Z twierdzenia Bezoute'a: jeżeli jeden wielomian dzieli sie przez drugi o pewnych pierwiastkach, to są one także pierwiastkami drugiego.

Podziel ten pierwszy wielomian przez 3 i 1, ale zrób to za pomocą tabelki. Ostatnia kolumna powinna się równać zero, a jako że mamy tutaj a i b oraz dwa miejsca zerowe, będziemy mieli układ dwóch równań. Dzięki temu policzysz a i b.