Rozkładanie wielomianów

[Felixis]

Rozłóż na czynniki wielomiany:
a) \(\displaystyle{ x^{3} ( x^{2} - 7 )^{2} - 36x}\)

b) \(\displaystyle{ x^{3} (x^{2} + 2)^{2} - 9x}\)

c) \(\displaystyle{ (x^{2} - 2)^{4} - 4x^ {4}}\)

d) \(\displaystyle{ (x^{2} + 9)^{4} - 16x^{4}}\)

Ma ktoś pomysł, jak rozwiązać to bez znajomości dzielenia wielomianów?
Z góry dziękuję za wskazówki.

[kamil13151]

Bez dzielenia wielomianów? c i d owszem.

\(\displaystyle{ (x^{2} - 2)^{4} - 4x^ {4}= [(x^{2} - 2)^{2}]^2 - (2x^ {2})^2}\)
Zastosuj wzór na różnicę kwadratów.

[Errichto]

a) \(\displaystyle{ (x-3)(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)(x+3)}\)
b) \(\displaystyle{ (x-1)x(x+1)(x^2+x+3)(x^2-x+3)}\)

c) oraz d) tak jak napisał kamil13151

[kamil13151]

Errichto, ale żeby to tak napisać musiałbyś użyć dzielenia wielomianów, nieprawdaż?

[Errichto]

Czemu tak twierdzisz?
Zawsze można np. tak:
\(\displaystyle{ a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+a^2b+2a^2b+2ab^2+ab^2+b^3=a^2(a+b)+2ab(a+b)+b^2(a+b)=(a+b)(a^2+2ab+b^2)=(a+b)(a^2+ab+ab+b^2)=(a+b)(a(a+b)+b(a+b))=(a+b)(a+b)(a+b)=(a+b)^3}\)
Bez użycia dzielenia wielomianów, a nawet bez wzorów skróconego. (oczywiście to tylko łopatologicznie rozpisany przykład)

[ginga]

Pierwsze dwa również się da rozłożyć ze wzoru na różnicę kwadratów. Nie będą to "ładne" liczby, ale się da.

a) \(\displaystyle{ x^{3} ( x^{2} - 7 )^{2} - 36x}\)

b) \(\displaystyle{ x^{3} (x^{2} + 2)^{2} - 9x}\)

ad a)
\(\displaystyle{ [x^{ \frac{3}{2}} (x^{2}-7)]^2 - [6 \sqrt{x}]^2}\)

ad b)
na tej samej zasadzie.

[Felixis]

Pierwsze dwa również się da rozłożyć ze wzoru na różnicę kwadratów. Nie będą to "ładne" liczby, ale się da.

a) \(\displaystyle{ x^{3} ( x^{2} - 7 )^{2} - 36x}\)

b) \(\displaystyle{ x^{3} (x^{2} + 2)^{2} - 9x}\)

ad a)
\(\displaystyle{ [x^{ \frac{3}{2}} (x^{2}-7)]^2 - [6 \sqrt{x}]^2}\)

ad b)
na tej samej zasadzie.

Tak, ale jak to dalej rozpisać? Bo wychodzą mi jedynie x z ułamkowymi potęgami. ;]

Czemu tak twierdzisz?
Zawsze można np. tak:
\(\displaystyle{ a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+a^2b+2a^2b+2ab^2+ab^2+b^3=a^2(a+b)+2ab(a+b)+b^2(a+b)=(a+b)(a^2+2ab+b^2)=(a+b)(a^2+ab+ab+b^2)=(a+b)(a(a+b)+b(a+b))=(a+b)(a+b)(a+b)=(a+b)^3}\)
Bez użycia dzielenia wielomianów, a nawet bez wzorów skróconego. (oczywiście to tylko łopatologicznie rozpisany przykład)

A jak odnosi się to do mojego przykładu?

[Errichto]

[...]

Czemu tak twierdzisz?
Zawsze można np. tak:
\(\displaystyle{ a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+a^2b+2a^2b+2ab^2+ab^2+b^3=a^2(a+b)+2ab(a+b)+b^2(a+b)=(a+b)(a^2+2ab+b^2)=(a+b)(a^2+ab+ab+b^2)=(a+b)(a(a+b)+b(a+b))=(a+b)(a+b)(a+b)=(a+b)^3}\)
Bez użycia dzielenia wielomianów, a nawet bez wzorów skróconego. (oczywiście to tylko łopatologicznie rozpisany przykład)

A jak odnosi się to do mojego przykładu?

Raczej nie odnosi się, bo była to odpowiedź na pytanie \(\displaystyle{ kamil13151}\).
Ale oczywiście każdy z Twoich przykładów też można w ten sposób porozbijać. Trzeba najpierw wyrażenie w nawiasie spotęgować, a potem grupować tak jak w moim przykładzie, aby zbiło się w iloczyny.

[Felixis]

[...]

Czemu tak twierdzisz?
Zawsze można np. tak:
\(\displaystyle{ a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+a^2b+2a^2b+2ab^2+ab^2+b^3=a^2(a+b)+2ab(a+b)+b^2(a+b)=(a+b)(a^2+2ab+b^2)=(a+b)(a^2+ab+ab+b^2)=(a+b)(a(a+b)+b(a+b))=(a+b)(a+b)(a+b)=(a+b)^3}\)
Bez użycia dzielenia wielomianów, a nawet bez wzorów skróconego. (oczywiście to tylko łopatologicznie rozpisany przykład)

A jak odnosi się to do mojego przykładu?

Raczej nie odnosi się, bo była to odpowiedź na pytanie \(\displaystyle{ kamil13151}\).
Ale oczywiście każdy z Twoich przykładów też można w ten sposób porozbijać. Trzeba najpierw wyrażenie w nawiasie spotęgować, a potem grupować tak jak w moim przykładzie, aby zbiło się w iloczyny.

No tak, grupuję, ale w żadnym przypadku nie dochodzę aż do tak prostej postaci.

[Errichto]

Nie dojdziesz na pewno do \(\displaystyle{ (a+b)^3}\) - to był przykład.
Ale, jeśli będziesz grupować, to kiedyś dojdziesz do tego, co jest w 3. poście na tej stronie.

[Felixis]

Nie dojdziesz na pewno do \(\displaystyle{ (a+b)^3}\) - to był przykład.
Ale, jeśli będziesz grupować, to kiedyś dojdziesz do tego, co jest w 3. poście na tej stronie.

Tak, wiem, ze nie dojdę, jednak na żaden sposób nie zbliżyłam się do odpowiedzi.
No nic, będe wdzięczna za kolejne wskazówki,-- 30 mar 2011, o 16:50 --Mam jeszcze pytanie co do podpunktu c i d

c)\(\displaystyle{ (x^{2} - 2)^{4} - 4x^ {4} = (x^{4} - 6x^{2} + 4) (x^{4} - 2x^{2} + 4)}\)

Jakim sposobem te dwa równania należy doprowadzić do postaci:

\(\displaystyle{ (x^{2} - \sqrt{2} x - 2) (x^{2} + \sqrt{2} x - 2) (x^{2} - \sqrt{6} x + 2) (x^{2} + \sqrt{6} +2 )}\)

Jak to rozpisać?