3 zadania pierwiastki podzielnośc k-krotność

[monika_176]

Zad. 1
Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x) = x^{3} - 3x +2}\)
a) Rozłóż wielomian na czynniki linniowe. Podaj pierwiastki tego wielomianu i określ ich krotność.
b) Zbadaj, czy istnieją takie wartości a i b, aby wielomiany W(x) oraz
\(\displaystyle{ Q(x) = (x^{2} + a)(x - a + b )}\) były równe. Jeśli istnieją , to wyznacz je.

Zad.2
Wielomian \(\displaystyle{ W(x)= 8x^{4} - 8}\) NIE JEST podzielny przez :
\(\displaystyle{ a) 8x -8 b) x^{2} + 6 c)8x+8 d)x+4}\)

Zad.3
Liczba -1 jest k-krotnym pierwiastkiem wielomiany \(\displaystyle{ W(x) = (x^{2} -1)(x^{2} +2x +1)(x^{3}+1)(x^{2}+1)}\). Ile wynosi k ?

[Errichto]

1.

Ukryta treść:    

a) \(\displaystyle{ (x-1)^2(x+2)}\)
\(\displaystyle{ 1}\) - dwukrotny, \(\displaystyle{ -2}\) - jednokrotny.
b) Wymnóż te nawiasy, otrzymasz\(\displaystyle{ ...+(b-a)x^2...}\) czyli \(\displaystyle{ b-a=0}\) (bo zero stoi przy \(\displaystyle{ x^2}\) w pierwszym wielomianie). Po podstawieniu \(\displaystyle{ a-b=0}\), mamy \(\displaystyle{ (x^2+a)x=x^3+ax \neq W(x)}\)

2.

Ukryta treść:    

a) i c) podzielne, bo \(\displaystyle{ W(x)=8(x-1)(x+1)(x^2+1)}\).
b) i d) niepodzielne, bo pierwiastki tych dwóch nie są pierwiastkami \(\displaystyle{ W(x)}\).

3.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ x^2-1=(x-1)(x+1)\\x^2+2x+1=(x+1)^2\\x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)}\)
Łącznie jest 4-krotnym pierwiastkiem.