Wielomian 3-stopnia z niewiadomymi współczynnikami...

anthol · Post autor: **anthol** » 28 gru 2006, o 07:45

W ogóle nie wiem jak to zrobić:

Zbadaj czy jstnieje wielomian 3-go stopnia o współczynnikach całkowitych takich, że:

W(1)=2

W(2)=3

W(3)=1

O co kaman? nie mam zielonego pojęcia...

wb · Post autor: wb » 28 gru 2006, o 08:46

\(\displaystyle{ W(x)=ax^3+bx^2+cx+d \\ ft\{\begin{array}{l}a+b+c+d=2\\8a+4b+2c+d=3\\27a+9b+3c+d=1\end{array} \\ ft\{\begin{array}{l} a=-\frac{1}{6}d-\frac{1}{3} \\ b=d+\frac{1}{2} \\ c=-\frac{11}{6}d+\frac{11}{6}\end{array}}\)
Po pomnożeniu pierwszego równania rozwiązania przez 6:
\(\displaystyle{ a=-\frac{1}{6}d-\frac{1}{3} /\cdot 6 \\ 6a=-d-2}\)
Stąd widać, że by a było całkowite d powinno wynosić: .... -8, -2, 4, 10, 16, .... .
Dla żadnej z wymienionych wartości d, ani b ani c nie będzie całkowite, co znaczy, że wielomian taki nie istnieje.

anthol · Post autor: **anthol** » 28 gru 2006, o 10:34

Tylko skąd wziął się ten układ równań z wartościami a, b i c ?

Bo właściwie do tego tylko nie potrafiłem dojść...

wb · Post autor: wb » 28 gru 2006, o 15:22

Układ ten wynika z warunków zadania:
W(1)=2 oznacza, że dla x=1 wartość wielomianu wynosi 2 (za x wstawiam 1, a za W(x) wstawiam wtedy 2); kolejne równania tak samo.

anthol · Post autor: **anthol** » 28 gru 2006, o 18:52

to rozumiem, chodzi mi konktetnie o tą druga "klamerkę", gdzie jest już a, b, c ???

przepraszam z góry za problem...

wb · Post autor: wb » 28 gru 2006, o 19:24

To jest rozwiązanie pierwszego układu metodą podstawiania przyjmując d jako parametr .