Podzielność wielomianów

[saniia]

Wielomian \(\displaystyle{ W(x)=(x ^{2}+10x+25) \cdot R(x)}\) jest stopnia trzeciego. Podaj przykład wielomianu R(x) takiego, aby wielomian W(x) był podzielny przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)=x ^{2}+4x-5}\)

[mmoonniiaa]

1. Wiadomo, że wielomian R jest stopnia pierwszego: \(\displaystyle{ ax+b}\).
2. Rozłóż wielomian P na czynniki, by znaleźć jego pierwiastki: \(\displaystyle{ x_{p1}}\), \(\displaystyle{ x_{p2}}\).
3. Wielomian W jest podzielny przez wielomian P, gdy \(\displaystyle{ W(x_{p1})=W(x_{p2})=0}\).

[kamil13151]

Zauważ, że \(\displaystyle{ (R)x}\) jest w formie \(\displaystyle{ ax +b}\) oraz:
\(\displaystyle{ W(x)=(x+5)^2 \cdot R(x)\\
P(x)=(x+5)(x-1)}\)

Łatwo teraz zauważyć, że \(\displaystyle{ R(x) = (x-1)}\).