Równania wielomianowe

[mat6331]

1.Rozwiąż równanie:

\(\displaystyle{ x^{3}+3x+2=0}\)

Prosiłabym rozłożyć na 4 czynniki. Wiem, banalny przykład ale męczę się nad nim i nie chce wyjść ;/ a ma wyjść -1.

[Vax]

\(\displaystyle{ x^3+3x+2=0}\)

\(\displaystyle{ x=u+v}\)

\(\displaystyle{ u^3+v^3+(u+v)(3uv+3)+2=0}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3 = -2\\ 3uv=-3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} u^3+v^3 = -2\\ u^3v^3 = -1 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ z^2+2z-1=0}\)

\(\displaystyle{ z = -1 \pm \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ x = u+v = \sqrt[3]{-1+\sqrt{2}} + \sqrt[3]{-1-\sqrt{2}}}\)

Pozdrawiam.

[mat6331]

Wolałabym prostsze rozwiązanie, bo wiem że da się to łatwiej zrobić

-- 21 mar 2011, o 20:06 --

Już nie trzeba, doszłam do tego sama jeśli komuś się przyda to proszę:

\(\displaystyle{ x ^{3} +3x+2=0}\)
\(\displaystyle{ x ^{3} +3x+3-1=0}\)
\(\displaystyle{ x ^{3} -1+3x+3=0}\)
\(\displaystyle{ x(x ^{2} -1)+3(x+1)=0}\)
\(\displaystyle{ x(x-1)(x+1)+3(x+1)=0}\)
\(\displaystyle{ (x+1)[x(x-1)+3]=0}\)
\(\displaystyle{ (x+1)(x ^{2} -x+3)=0}\)
\(\displaystyle{ x=-1 delta<0}\)

[piasek101]

\(\displaystyle{ x ^{3} +3x+2=0}\)
\(\displaystyle{ x ^{3} +3x+3-1=0}\)
\(\displaystyle{ x ^{3} -1+3x+3=0}\)
\(\displaystyle{ x(x ^{2} -1)+3(x+1)=0}\)
...
\(\displaystyle{ x=-1 delta<0}\)

Między trzecią a czwartą linijką nie działa.

\(\displaystyle{ x=-1}\) nie jest rozwiązaniem (mogłeś sprawdzić)

Ps. Łatwo to z \(\displaystyle{ (-3x)}\).