Rozwiąż równanie wielomianowe
-
- Użytkownik
- Posty: 282
- Rejestracja: 2 paź 2009, o 20:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Dachnów
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 13 razy
Rozwiąż równanie wielomianowe
Rozwiąż równanie postaci:
\(\displaystyle{ 3x^{3}+3x^{2}+3x+1=0}\)
W szukajce nie znalazłem więc wrzucam ;] Niby typowy wielomian ale za nic nie mogę go ruszyć. Proszę o pomoc. Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ 3x^{3}+3x^{2}+3x+1=0}\)
W szukajce nie znalazłem więc wrzucam ;] Niby typowy wielomian ale za nic nie mogę go ruszyć. Proszę o pomoc. Pozdrawiam.
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Rozwiąż równanie wielomianowe
Posiada jeden.Lbubsazob pisze:Ten wielomian nie ma pierwiastków rzeczywistych.
\(\displaystyle{ 3x^3+3x^2+3x+1 = 0/:3}\)
\(\displaystyle{ x^3+x^2+x+\frac{1}{3} = 0}\)
\(\displaystyle{ x = y - \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ (y-\frac{1}{3})^3 + (y-\frac{1}{3})^2 + y-\frac{1}{3}+\frac{1}{3} = 0}\)
\(\displaystyle{ y^3-y^2+\frac{y}{3} - \frac{1}{27} + y^2-\frac{2y}{3}+\frac{1}{9}+y = 0}\)
\(\displaystyle{ y^3+\frac{2}{3}y+\frac{2}{27} = 0}\)
\(\displaystyle{ y=u+v}\)
\(\displaystyle{ (u+v)^3 + \frac{2}{3}(u+v) + \frac{2}{27} = 0}\)
\(\displaystyle{ u^3+v^3 + (u+v)(3uv+\frac{2}{3}) + \frac{2}{27} = 0}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3=-\frac{2}{27}\\ 3uv = -\frac{2}{3} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} u^3+v^3 = -\frac{2}{27}\\ u^3v^3 = -\frac{8}{729} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ z^2+\frac{2}{27}z-\frac{8}{729} = 0}\)
\(\displaystyle{ z = \frac{-\frac{2}{27} \pm \frac{2}{9}}{2}}\)
\(\displaystyle{ z_1 = \frac{2}{27} \wedge z_2 = -\frac{4}{27}}\)
\(\displaystyle{ y = u+v = \sqrt[3]{\frac{2}{27}} + \sqrt[3]{-\frac{4}{27}} = \frac{\sqrt[3]{2}}{3} - \frac{\sqrt[3]{4}}{3}}\)
\(\displaystyle{ x = y-\frac{1}{3} = \frac{\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4}-1}{3}}\)
Pozdrawiam.
-
- Użytkownik
- Posty: 4672
- Rejestracja: 17 maja 2009, o 13:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 124 razy
- Pomógł: 978 razy
Rozwiąż równanie wielomianowe
Ech, sorry, nie zauważyłam, bo wrzuciłam to od razu w Maximę i wywaliło bardzo ładne rozwiązania z zespolonymi, a temu trzeciemu już się nie przyjrzałam dokładnie
-
- Użytkownik
- Posty: 282
- Rejestracja: 2 paź 2009, o 20:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Dachnów
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 13 razy
Rozwiąż równanie wielomianowe
Zadziwiające rozwiązanie ;]
Wszystko ok tylko nie rozumiem tego przeskoku:
\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3 = -\frac{2}{27}\\ u^3v^3 = -\frac{8}{729} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ z^2+\frac{2}{27}z-\frac{8}{729} = 0}\)
Wszystko ok tylko nie rozumiem tego przeskoku:
\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3 = -\frac{2}{27}\\ u^3v^3 = -\frac{8}{729} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ z^2+\frac{2}{27}z-\frac{8}{729} = 0}\)
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Rozwiąż równanie wielomianowe
Zauważ, że dany układ równań są to wzory Viete'a dla trójmianu kwadratowego, którego pierwiastkami są \(\displaystyle{ u^3}\) oraz \(\displaystyle{ v^3}\)
Pozdrawiam.
Pozdrawiam.
-
- Użytkownik
- Posty: 282
- Rejestracja: 2 paź 2009, o 20:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Dachnów
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 13 razy
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Rozwiąż równanie wielomianowe
Vax, aby znaleźć pozostałe wartości dla u i v
należy pomnożyć te wartości przez zespolone pierwiastki trzeciego stopnia z jedynki
Jeżeli
\(\displaystyle{ u_{1}\text{ i } v_{1}}\)
spełniają układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} u_{1}^3+v_{1}^3=-q \\ u_{1}v_{1}= -\frac{p}{3} \end{cases} \\}\)
to dla
\(\displaystyle{ \begin{cases} u_{1}^3+v_{1}^3=-q \\ e^{ \frac{2i\pi}{3} }u_{1}e^{ \frac{4i\pi}{3} }v_{1}= -\frac{p}{3} \end{cases} \\
\begin{cases} u_{1}^3+v_{1}^3=-q \\ e^{ \frac{4i\pi}{3} }u_{1}e^{ \frac{2i\pi}{3} }v_{1}= -\frac{p}{3} \end{cases} \\}\)
układ równań też będzie spełniony
\(\displaystyle{ \begin{cases} u_{2}=e^{ \frac{2i\pi}{3} }u_{1} \\ v_{2}=e^{ \frac{4i\pi}{3} }v_{1} \end{cases}\\
\begin{cases} u_{3}=e^{ \frac{4i\pi}{3} }u_{1} \\ v_{3}=e^{ \frac{2i\pi}{3} }v_{1} \end{cases}\\}\)
Vax, tak obliczasz wszystkie trzy pierwiastki równania trzeciego stopnia
należy pomnożyć te wartości przez zespolone pierwiastki trzeciego stopnia z jedynki
Jeżeli
\(\displaystyle{ u_{1}\text{ i } v_{1}}\)
spełniają układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} u_{1}^3+v_{1}^3=-q \\ u_{1}v_{1}= -\frac{p}{3} \end{cases} \\}\)
to dla
\(\displaystyle{ \begin{cases} u_{1}^3+v_{1}^3=-q \\ e^{ \frac{2i\pi}{3} }u_{1}e^{ \frac{4i\pi}{3} }v_{1}= -\frac{p}{3} \end{cases} \\
\begin{cases} u_{1}^3+v_{1}^3=-q \\ e^{ \frac{4i\pi}{3} }u_{1}e^{ \frac{2i\pi}{3} }v_{1}= -\frac{p}{3} \end{cases} \\}\)
układ równań też będzie spełniony
\(\displaystyle{ \begin{cases} u_{2}=e^{ \frac{2i\pi}{3} }u_{1} \\ v_{2}=e^{ \frac{4i\pi}{3} }v_{1} \end{cases}\\
\begin{cases} u_{3}=e^{ \frac{4i\pi}{3} }u_{1} \\ v_{3}=e^{ \frac{2i\pi}{3} }v_{1} \end{cases}\\}\)
Vax, tak obliczasz wszystkie trzy pierwiastki równania trzeciego stopnia