Rozwiąż równanie wielomianowe

[krystian8207]

Rozwiąż równanie postaci:
\(\displaystyle{ 3x^{3}+3x^{2}+3x+1=0}\)
W szukajce nie znalazłem więc wrzucam ;] Niby typowy wielomian ale za nic nie mogę go ruszyć. Proszę o pomoc. Pozdrawiam.

[Lbubsazob]

Ten wielomian nie ma pierwiastków rzeczywistych.

[Vax]

Ten wielomian nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Posiada jeden.

\(\displaystyle{ 3x^3+3x^2+3x+1 = 0/:3}\)

\(\displaystyle{ x^3+x^2+x+\frac{1}{3} = 0}\)

\(\displaystyle{ x = y - \frac{1}{3}}\)

\(\displaystyle{ (y-\frac{1}{3})^3 + (y-\frac{1}{3})^2 + y-\frac{1}{3}+\frac{1}{3} = 0}\)

\(\displaystyle{ y^3-y^2+\frac{y}{3} - \frac{1}{27} + y^2-\frac{2y}{3}+\frac{1}{9}+y = 0}\)

\(\displaystyle{ y^3+\frac{2}{3}y+\frac{2}{27} = 0}\)

\(\displaystyle{ y=u+v}\)

\(\displaystyle{ (u+v)^3 + \frac{2}{3}(u+v) + \frac{2}{27} = 0}\)

\(\displaystyle{ u^3+v^3 + (u+v)(3uv+\frac{2}{3}) + \frac{2}{27} = 0}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3=-\frac{2}{27}\\ 3uv = -\frac{2}{3} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} u^3+v^3 = -\frac{2}{27}\\ u^3v^3 = -\frac{8}{729} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ z^2+\frac{2}{27}z-\frac{8}{729} = 0}\)

\(\displaystyle{ z = \frac{-\frac{2}{27} \pm \frac{2}{9}}{2}}\)

\(\displaystyle{ z_1 = \frac{2}{27} \wedge z_2 = -\frac{4}{27}}\)

\(\displaystyle{ y = u+v = \sqrt[3]{\frac{2}{27}} + \sqrt[3]{-\frac{4}{27}} = \frac{\sqrt[3]{2}}{3} - \frac{\sqrt[3]{4}}{3}}\)

\(\displaystyle{ x = y-\frac{1}{3} = \frac{\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4}-1}{3}}\)

Pozdrawiam.

[Lbubsazob]

Ech, sorry, nie zauważyłam, bo wrzuciłam to od razu w Maximę i wywaliło bardzo ładne rozwiązania z zespolonymi, a temu trzeciemu już się nie przyjrzałam dokładnie

[Althorion]

Wielomian stopnia nieparzystego o współczynnikach rzeczywistych bez pierwiastków rzeczywistych byłby zaiste indywiduum .

[krystian8207]

Zadziwiające rozwiązanie ;]
Wszystko ok tylko nie rozumiem tego przeskoku:

\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3 = -\frac{2}{27}\\ u^3v^3 = -\frac{8}{729} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ z^2+\frac{2}{27}z-\frac{8}{729} = 0}\)

[Vax]

Zauważ, że dany układ równań są to wzory Viete'a dla trójmianu kwadratowego, którego pierwiastkami są \(\displaystyle{ u^3}\) oraz \(\displaystyle{ v^3}\)

Pozdrawiam.

[krystian8207]

Hehe. Faktycznie. Dzieki wielkie za pomoc. Pozdrawiam.

[Mariusz M]

Vax, aby znaleźć pozostałe wartości dla u i v
należy pomnożyć te wartości przez zespolone pierwiastki trzeciego stopnia z jedynki


Jeżeli
\(\displaystyle{ u_{1}\text{ i } v_{1}}\)

spełniają układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} u_{1}^3+v_{1}^3=-q \\ u_{1}v_{1}= -\frac{p}{3} \end{cases} \\}\)

to dla

\(\displaystyle{ \begin{cases} u_{1}^3+v_{1}^3=-q \\ e^{ \frac{2i\pi}{3} }u_{1}e^{ \frac{4i\pi}{3} }v_{1}= -\frac{p}{3} \end{cases} \\
\begin{cases} u_{1}^3+v_{1}^3=-q \\ e^{ \frac{4i\pi}{3} }u_{1}e^{ \frac{2i\pi}{3} }v_{1}= -\frac{p}{3} \end{cases} \\}\)

układ równań też będzie spełniony

\(\displaystyle{ \begin{cases} u_{2}=e^{ \frac{2i\pi}{3} }u_{1} \\ v_{2}=e^{ \frac{4i\pi}{3} }v_{1} \end{cases}\\
\begin{cases} u_{3}=e^{ \frac{4i\pi}{3} }u_{1} \\ v_{3}=e^{ \frac{2i\pi}{3} }v_{1} \end{cases}\\}\)


Vax, tak obliczasz wszystkie trzy pierwiastki równania trzeciego stopnia