Znajdź wszystkie p,q spełniające warunek

[Brodziol]

Znajdź wszystkie p, q liczb całkowitych takie, że wielomian określony wzorem:

\(\displaystyle{ W\left( x\right) = 1-2x- 9x^{2}+ x^{3}}\) spełnia warunki: \(\displaystyle{ W\left( p\right)=q}\) i \(\displaystyle{ W\left( q\right)=p}\)

Z góry dziękuję za rozwiązanie

[Mortify]

Wstawiamy i otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \begin{cases} p=1-2q-9q^2+q^3 \\ q=1-2p-9p^2+p^3 \end{cases}}\)

odejmujemy stronami:

\(\displaystyle{ p-q=2p-2q+9p^2-9q^2+q^3-p^3}\)

\(\displaystyle{ p-q+9(p-q)(p+q)+(q-p)(q^2+qp+p^2)=0}\)

\(\displaystyle{ (p-q)(1+9(p+q)-(q^2+qp+p^2))=0}\)

może to pomoże;)

[Brodziol]

Sprawdzasz w ten sposób czy P = Q, za pomocą układu równań. Trza sprawdzić ile wynosi P i później podstawiając sprawdzić Q.

Jak to dalej rozbić? Trochę trudno to odjąć pierwsze wyrażenie od drugiego.

[Mortify]

Z ostatniej równości wynika, że \(\displaystyle{ p=q}\) lub \(\displaystyle{ 1+9(p+q)-(q^2+qp+p^2)=0}\)(i jak wynik wstawimy do warunku początkowego to otrzymamy dokładne wartości)