Dodatniość, ujemność wielomianu a krotność pierwiastka

[fon_nojman]

Jak pokazać, że wielomian \(\displaystyle{ W:\mathbb{R}\to \mathbb{R}}\) mający pierwiastek \(\displaystyle{ x_0}\) krotności parzystej (nieparzystej) zachowuje (nie zachowuje) znak w pewnym sąsiedztwie \(\displaystyle{ x_0}\)?

[szw1710]

Z rozkładu na czynniki to widać. Pozostałe czynniki (w sąsiedztwie konkretnego pierwiastka który badasz) nie zmieniają znaku, więc badasz znak tego konkretnego czynnika).

Trzeba nadmienić, że rozkładasz na czynniki liniowe i potem zostaje ci jeszcze wielomian nierozkładalny, czyli stałego znaku, np. \(\displaystyle{ (x-1)(x-2)^2(x^4+x^2+1)}\). Badasz więc zachowanie tych czynników liniowych.

[fon_nojman]

Jakoś tego nie widzę. Czynnik \(\displaystyle{ (x-x_0)^{2k}}\) będzie nieujemny ale skąd mam wiedzieć, że pozostałe czynniki tez są nieujemne?

[szw1710]

Nie tyle nieujemne, ale stałego znaku. Przecież wyrażenie liniowe ma stały znak w każdym przedziale nie zawierającym pierwiastka tego wyrażenia.

[Qń]

Formalnie - niech \(\displaystyle{ x_0}\) będzie \(\displaystyle{ n}\)-krotnym pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\), tzn. dla pewnego \(\displaystyle{ V(x)}\) takiego, że \(\displaystyle{ V(x_0)\neq 0}\) jest:
\(\displaystyle{ W(x)=(x-x_0)^n\cdot V(x)}\)
Niech \(\displaystyle{ \varepsilon >0}\) będzie taką liczbą, że w przedziale \(\displaystyle{ (x_0-\varepsilon ,x_0+\varepsilon )}\) nie ma innych pierwiastków poza \(\displaystyle{ x_0}\). Pokażmy, że w tym przedziale \(\displaystyle{ V(x)}\) ma stały znak. Istotnie, gdyby dla pewnych \(\displaystyle{ a,b\in (x_0-\varepsilon ,x_0+\varepsilon )}\) było \(\displaystyle{ V(a)\cdot V(b)<0}\), to z ciągłości funkcji wielomianowej i z własności Darboux, w przedziale \(\displaystyle{ (a,b)}\) wielomian \(\displaystyle{ V(x)}\) miałby pierwiastek różny od \(\displaystyle{ x_0}\). Ale ten pierwiastek siedziałby też w przedziale \(\displaystyle{ (x_0-\varepsilon ,x_0+\varepsilon )}\) oraz byłby pierwiastkiem \(\displaystyle{ W(x)}\), co jest niemożliwe.

Skoro więc w rzeczonym sąsiedztwie punktu \(\displaystyle{ x_0}\) wielomian \(\displaystyle{ V(x)}\) przyjmuje wartości stałego znaku, to zmiana znaku \(\displaystyle{ W(x)}\) w tym sąsiedztwie zależy wyłącznie od \(\displaystyle{ (x-x_0)^n}\). Dla \(\displaystyle{ x\in (x_0,x_0+\varepsilon )}\) mamy \(\displaystyle{ (x-x_0)^n>0}\), a dla \(\displaystyle{ x\in (x_0-\varepsilon ,x_0 )}\) Mamy \(\displaystyle{ -(x-x_0)>0}\) czyli \(\displaystyle{ (-1)^n\cdot (x-x_0)^n>0}\). Jeśli więc \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste, to w sąsiedztwie \(\displaystyle{ x_0}\) wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) ma stały znak, a jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste, to w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\) wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) zmienia znak.

Q.