Witam, prosiłbym o pomoc z następującym zadaniem:
Udowodnij, że jeśli jeden z pierwiastków równania \(\displaystyle{ x^3 + bx + c = 0}\) o współczynnikach
całkowitych jest iloczynem pozostałych pierwiastków, to jest on liczbą całkowitą
pierwiastki wielomianu o wsp. całkowitych
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
pierwiastki wielomianu o wsp. całkowitych
Oznaczmy pierwiastki: \(\displaystyle{ t,s,ts}\). Chcemy pokazać, że \(\displaystyle{ ts \in \mathbb{Z}}\). Ze wzorów Viete'a mamy:
\(\displaystyle{ 0=t+s+ts\\
b=ts+t^2s+ts^2=ts(1+t+s) \in \mathbb{Z}\\
-c=t^2s^2 \in \mathbb{Z}}\)
Z pierwszej równości mamy \(\displaystyle{ t+s=-ts}\), co po wstawieniu do drugiej równości daje:
\(\displaystyle{ ts(1-ts)=ts-t^2s^2 \in \mathbb{Z}}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ ts=(ts-t^2s^2)+t^2s^2 \in \mathbb{Z}}\) (jako suma liczb całkowitych)
a tego właśnie chcieliśmy dowieść.
Q.
\(\displaystyle{ 0=t+s+ts\\
b=ts+t^2s+ts^2=ts(1+t+s) \in \mathbb{Z}\\
-c=t^2s^2 \in \mathbb{Z}}\)
Z pierwszej równości mamy \(\displaystyle{ t+s=-ts}\), co po wstawieniu do drugiej równości daje:
\(\displaystyle{ ts(1-ts)=ts-t^2s^2 \in \mathbb{Z}}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ ts=(ts-t^2s^2)+t^2s^2 \in \mathbb{Z}}\) (jako suma liczb całkowitych)
a tego właśnie chcieliśmy dowieść.
Q.