(2 zadania) Reszta z dzielenia wielomianów. Tw. Bezouta

[Karol_Iwan]

zad1 : Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu "W" przez \(\displaystyle{ (x-3)(x+2)}\), jeżeli reszta z dzielenia wielomianu W przez \(\displaystyle{ (x-3)}\) wynosi 7, a przez \(\displaystyle{ (x+2)}\) wynosi -3



zad 2 : Nie wykonując dzielenia znajdz resztę z dzielenia wielomianu W przez wielomian U.
\(\displaystyle{ W(x)=x^5-x^3+x^2-1 \\
U(x)=(x-1)(x+1)(x+2)}\)

Przy używaniu twierdzenia BEZOUTA

[Tomasz Rużycki]

Zad 1.

Nasz wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) możemy zapisać w następującej postaci:

\(\displaystyle{ W(x)=Q(x) \cdot (x-a)+R(x)}\)

Wiemy, że:
\(\displaystyle{ W(-2)=-3\\
W(3)=7}\)

Przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ (x-3)(x+2)}\) otrzymamy resztę co najwyżej stopnia 1szego, więc możemy ją zapisać w postaci \(\displaystyle{ R(x)=ax+b}\).

-\(\displaystyle{ 3=-2a+b\\
7=3a+b\\
\\ -5a=-10 /: (-5)\\
b=1\\
a=2
\\ \\ R(x)=2x+1}\)

[Karol_Iwan]

Dzięki,skapowałem to, ale doradźcie jak zrobic zadanko 2 :]]

[Tomasz Rużycki]

Zad 2.

Myślałem, że po moim rozwiązaniu zadania pierwszego zrobisz bez problemu drugie . No ta tak, na wstępie zauważmy, że:

\(\displaystyle{ W(1)=0\\
W(-1)=0\\
W(2)=27}\)

Reszta \(\displaystyle{ R(x)}\) jaką otrzymamy w wyniku dzielenia przez wielomian stopnia trzeciego, może być co najwyżej stopnia drugiego, więc zapiszmy ją jako \(\displaystyle{ R(x)=ax^2+bx+c}\).

\(\displaystyle{ 0=a+b+c\\
0=a-b+c\\
27=4a+2b+c}\)

\(\displaystyle{ \ldots \\ a=9\\
b=0\\
c=-9\\
\\R(x)=9x^2-9}\)

Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki

[Karol_Iwan]

Spoko dzięki mam jeszcze takie zadanko :
Dla jakich wartości parametrów a i b iczba \(\displaystyle{ X_o}\) jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W}\)?

\(\displaystyle{ W(X)=6x^4+8x^3-8x^2+ax+b , \ Xo=-1}\)

Teraz prosiłbym o rade jak rozwiązac(nie rozwiązanie ) nie rozumie min co to jest dwu-trzy-cztero......-n-krotny pierwiastek wielomianu,

thx

[arigo]

to oznacza ze
\(\displaystyle{ W(x)=(x+1)(x+1) \cdot G(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ G(x)}\) to dowolny wielomian

musisz wiec zadbac o to by \(\displaystyle{ W(x)}\) bylo podzielne przez dwumian \(\displaystyle{ (x+1)}\) oraz zeby \(\displaystyle{ \frac{W(x)}{x+1}}\) tez ma byc podzielne przez dwumian \(\displaystyle{ (x+1)}\)

proponuje uzyc schematu hornera i twierdzenia bezouta

[Tomasz Rużycki]

Liczba a jest pierwiastkiem n-krotnym wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\), jeśli jest on podzielny przez \(\displaystyle{ (x-a)^n}\).

To Ci w zupełności powinno wystarczyć - po prostu dzielisz przez \(\displaystyle{ (x-a)^n}\) gdzie a to liczba, która ma być n-krotnym pierwiastkiem. Reszta musi być równa tożsamościowo zero, po przeliczeniu dostajesz to co chcesz

Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki

[Karol_Iwan]

No i dzięki Wam zrobiłem wszystko ładnie, cymuś cacy dzięki
pozdrawiam
Karol_Iwan