pierwiastki wielomianowe

[kenobiii]

Wyznacz takie wartości całkowite a i b, dla których liczba \(\displaystyle{ 1+ \sqrt{3}}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ P(x)=3x^{3}+ax^{2}+bx+12}\)

[mateuszek89]

Wtedy \(\displaystyle{ P(1+\sqrt{3})=0}\) jak to podstawisz zostanie do rozwiązania układ równań, bo jeśli \(\displaystyle{ x+y\sqrt{3}=0}\) oraz \(\displaystyle{ x,y \in Z}\) to \(\displaystyle{ x=0,y=0}\). Pozdrawiam!

[Qń]

A jak ktoś nie chce się naliczyć, to może skorzystać z faktu, że dla wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) o współczynnikach całkowitych i liczb całkowitych \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) jest:
\(\displaystyle{ W(a+b\sqrt{3})=c+d\sqrt{3} \Rightarrow W(a-b\sqrt{3})=c-d\sqrt{3}}\)

Z tego faktu wynika, że pierwiastkiem rzeczonego wielomianu musi być też \(\displaystyle{ 1-\sqrt{3}}\) (dlaczego?), a ze wzorów Vieta'a wynika, że w takim razie trzeci pierwiastek spełnia równanie:
\(\displaystyle{ (1+\sqrt{3}) \cdot (1-\sqrt{3}) \cdot x_3=-\frac{12}{3}}\)
skąd ten trzeci pierwiastek to \(\displaystyle{ 2}\)

Mamy więc:
\(\displaystyle{ P(x)=3 \cdot \left( x-(1-\sqrt{3})\right) \cdot \left(x- (1+\sqrt{3})\right) \cdot \left( x-2\right) = \\ =3 \cdot (x^2-2x-2)\cdot (x-2)=3x^3-12x^2+6x+12}\)

Q.