wykazanie nierówności

[darek20]

Niech \(\displaystyle{ P(x)=x^3+ax^2+bx+1}\) oraz \(\displaystyle{ |P(x)|\leq 1}\) dla każdego \(\displaystyle{ |x|\leq 1}\). Pokaż że \(\displaystyle{ |a|+|b|\leq 5}\).

[Qń]

Mamy w szczególności:
\(\displaystyle{ |P(1)|\le 1\\
|P(-1)|\le 1}\)
czyli:
\(\displaystyle{ |2+a+b|\le 1\\
|a-b|\le 1}\)
czyli:
\(\displaystyle{ -3\le a+b\le -1\\
-1\le a-b\le 1\\
-1\le b-a\le 1}\)
skąd (po dodaniu odpowiednich nierówności stronami):
\(\displaystyle{ -2\le a\le 0 \\
-2\le b\le 0}\)
czyli:
\(\displaystyle{ |a|\le 2\\
|b|\le 2}\)

Q.