Reszta z wielomianu

[Stoper85]

Reszty z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ (x-1), (x+1), (x+2)}\) sa odpowiednio równe \(\displaystyle{ 1, -1, 3}\). Znajdz reszte z dzielenia tego wielomianu przez \(\displaystyle{ P(x)=(x-1)(x+1)(x+2)}\). Chodzi o wytłumaczenie jak robic zadania tego typu, jakie wzory stosowac itp. Z góry dziekuje za pomoc

[Hausa]

Wielomian P(x) jest stopnia trzeciego, czyli reszta z dzielenia jest co najwyżej stopnia drugiego, czyli możemy to zapisać w ten sposób:

\(\displaystyle{ W(x)=(x-1)(x+1)(x+2) \cdot \left[ F(x)\right] +ax^2+bx+c}\)

Wiedząc, że:

\(\displaystyle{ W(1)=1 \\ W(-1)=-1 \\ W(-2)=3}\)

Podstawiamy te wartości do równania powyżej i teraz układasz układ 3 równań z 3 niewiadomymi a,b,c.

[Stoper85]

Oki, dzięki wielkie. Jeszcze jedno pytanie. Jeśli wielomian P(x) byłby stopnia 4 lub 2 to jako resztę miałbym podstawić odpowiednio jako wielomian stopnia mniejszego?

[Crizz]

Jeśli dzielisz wielomian stopnia \(\displaystyle{ m}\) przez wielomian stopnia \(\displaystyle{ n}\), to dostajesz wielomian stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ m-n}\) i resztę stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ n-1}\).

Jest to w miarę zrozumiałe, bo gdyby reszta była stopnia \(\displaystyle{ n}\) lub większego, to przecież dawałaby się jeszcze podzielić, czyli nie byłaby resztą

[Hausa]

Reszta jest tak jakby wzorem ogólnym równania o 1 stopień niższego. Jeżeli dzielnik jest drugiego stopnia to reszta jest pierwszego czyli ma wzór \(\displaystyle{ ax+b}\), jeżeli dzielnik jest stopnia czwartego, reszta jest trzeciego, czyli ma wzór \(\displaystyle{ ax^3+bx^2+cx+d}\) itd

[Stoper85]

Dokładnie to potrzebowałem wiedzieć. Dzięki Wam bardzo