równania wielomianowe

[mateps6]

1. Jednym z rozwiązań równanie \(\displaystyle{ 3x ^{3} +ax ^{2}+bx+12=0}\), gdzie\(\displaystyle{ a,b \in C}\), jest liczba \(\displaystyle{ 1+ \sqrt{3}}\). Znajdź a i b.
2. Dla jakich wartości parametru a pierwiastki \(\displaystyle{ x _{1},x _{2},x _{3}}\)równania \(\displaystyle{ x ^{3}-9x ^{2}+ax-15=0 spełniają warunki:\(\displaystyle{ x _{2}=x _{1}+2 i x _{3}=x _{1}+4}\)? Znajdź wszystkie pierwiastki tego równania.
3. Dla jakich wartości parametru m pierwiastki \(\displaystyle{ x _{1},x _{2},x _{3}}\) równania \(\displaystyle{ x ^{3}-3x ^{2}-6x+m=0 spełniają warunki:\(\displaystyle{ x _{2}=x _{1}*q, x _{3}=x _{1}*q ^{2}? Wyznacz te pierwiastki.
4. Wiadomo, że \(\displaystyle{ x _{1},x _{2},x _{3}}\) są pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x ^{3}-x ^{2}-1=0}\). Ułóż równanie , którego pierwiastkami są: \(\displaystyle{ y _{1}=x _{1}+x _{2}, y _{2}=x _{1}+x _{3} i y _{2}=x _{2}+x _{3}}\).}\)}\)}\)

[anna_]

1.
podstaw za \(\displaystyle{ x}\) \(\displaystyle{ 1+ \sqrt{3}}\) i pogrupuj
powinno wyjść
\(\displaystyle{ (2a+b) \sqrt{3}+4a+b+ 18 \sqrt{3} + 42=0}\)
\(\displaystyle{ (2a+b) \sqrt{3}+4a+b=-18 \sqrt{3} -42}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2a+b=-18 \\ 4a+b=-42 \end{cases}}\)

2.
\(\displaystyle{ x ^{3}-9x ^{2}+ax-15=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=(x-x_1)(x-x_1-2)(x-x_1-4)=x^3 - (3x_1 + 6)x^2 + (3x_1^2 + 12x_1 + 8)x - x_1(x_1 + 2)(x_1 + 4)}\)
stąd
\(\displaystyle{ 3x_1 + 6=9}\)
\(\displaystyle{ x_1=1}\)
więc
\(\displaystyle{ a=3x_1^2 + 12x_1 + 8=23}\)