Wykaż, że nie wszystkie współczynniki wielomianu W są licz

[Tacit]

Wielomian W jest wielomianem stopnia \(\displaystyle{ 5}\) i spełnia warunki: \(\displaystyle{ W (3) = 1}\) oraz \(\displaystyle{ W W( - 3) = 2}\) . Wykaż, że nie wszystkie współczynniki wielomianu W są liczbami całkowitymi.

Rozwiązuję następująco, używając twierdzenia o wielomianie o współczynnikach całkowitych:

\(\displaystyle{ \begin{cases} W(3) = a_{5}3 ^{5}+ a_{4}3 ^{4}+a_{3}3 ^{3}+ a_{2}3 ^{2}+ a_{1}3 ^{1}+a_{1} = 1 \\W( - 3) = a_{5}( - 3) ^{5}+a_{4}( - 3) ^{4}+ a_{3}( - 3) ^{3}+ a_{2}( - 3) ^{2}+ a_{1}( - 3) ^{1}+ a_{0} = 2 \end{cases}}\)

Potem odejmuję pierwsze równanie od drugiego, potęguję i dzielę przez \(\displaystyle{ 6}\).

\(\displaystyle{ 81 a ^{5} + \frac{1}{6}a _{4} + 9 _{3} + \frac{1}{6}a _{2} + a _{1} + \frac{1}{6}a _{0} = - \frac{1}{6}}\)

Jak widać wielomian nie wszystkie współczynniki ma całkowite.

Dobrze rozwiązałem?

[Vax]

Skorzystamy z tego, że jak wielomian ma pierwiastki całkowite to zachodzi:

\(\displaystyle{ a-b | W(a) - W(b)}\)

\(\displaystyle{ 3-(-3) | W(3) - W(-3)}\)

\(\displaystyle{ 6 | 1 - 2 = -1}\)

Sprzeczność, czyli dany wielomian nie ma pierwiastków całkowitych.

Pozdrawiam.

[Tacit]

Czyli moje rozwiązanie jest złe?

[kammeleon18]

Wielomian W jest wielomianem stopnia \(\displaystyle{ 5}\) i spełnia warunki: \(\displaystyle{ W (3) = 1}\) oraz \(\displaystyle{ W (− 3) = 2}\) . Wykaż, że nie wszystkie współczynniki wielomianu W są liczbami całkowitymi.

Rozwiązuję następująco, używając twierdzenia o wielomianie o współczynnikach całkowitych:

\(\displaystyle{ \begin{cases} W(3) = a_{5}3 ^{5}+ a_{4}3 ^{4}+a_{3}3 ^{3}+ a_{2}3 ^{2}+ a_{1}3 ^{1}+a_{1} = 1 \\W( - 3) = a_{5}( - 3) ^{5}+a_{4}( - 3) ^{4}+ a_{3}( - 3) ^{3}+ a_{2}( - 3) ^{2}+ a_{1}( - 3) ^{1}+ a_{0} = 2 \end{cases}}\)

Potem odejmuję pierwsze równanie od drugiego, potęguję i dzielę przez \(\displaystyle{ 6}\).

\(\displaystyle{ 81 a ^{5} + \frac{1}{6}a _{4} + 9 _{3} + \frac{1}{6}a _{2} + a _{1} + \frac{1}{6}a _{0} = - \frac{1}{6}}\)

Jak widać wielomian nie wszystkie współczynniki ma całkowite.

Dobrze rozwiązałem?

zle odjales stronami,powinno sie zredukowac duzo

[Tacit]

Racja, jeszcze \(\displaystyle{ a _{0}}\) się redukuje.

\(\displaystyle{ 81 a ^{5} + \frac{1}{6}a _{4} + 9 _{3} + \frac{1}{6}a _{2} + a _{1} = - \frac{1}{6}}\)

Teraz powinno być dobrze?

[kammeleon18]

to ja napisze całe rozwiązanie
\(\displaystyle{ \begin{cases} W(3) = a_{5}3 ^{5}+ a_{4}3 ^{4}+a_{3}3 ^{3}+ a_{2}3 ^{2}+ a_{1}3 ^{1}+a_{0} = 1 \\W( - 3) = a_{5}( - 3) ^{5}+a_{4}( - 3) ^{4}+ a_{3}( - 3) ^{3}+ a_{2}( - 3) ^{2}+ a_{1}( - 3) ^{1}+ a_{0} = 2 \end{cases}}\)

dodając stronami otrzymujemy(nawiasy kwadratowe oczywiście nie oznaczają części całkowitej w tym przypadku)
\(\displaystyle{ [a_{5}3 ^{5}+a_{5}( - 3) ^{5}]+ [a_{4}3 ^{4}+a_{4}( - 3) ^{4}]+[a_{3}3 ^{3}+a_{3}( - 3) ^{3}]+[a_{2}3 ^{2}+a_{2}( - 3) ^{2}]+[a_{1}3 ^{1}+a_{1}( - 3) ^{1}]+[a_{0}+ a_{0}]=
2(a_{4}3 ^{4}+a_{2}3 ^{2}+a_0)=3}\)

korzystając z faktu,że współczynniki są liczbami całkowitymi otrzymujemy 2|3.sprzeczność.
Tacit,z tego,że\(\displaystyle{ 81 a ^{5} + \frac{1}{6}a _{4} + 9 _{3} + \frac{1}{6}a _{2} + a _{1} = - \frac{1}{6}}\) (btw jest to błędny wniosek)nie wynika,że liczby \(\displaystyle{ a_1.a_2.a_3,a_4,a_5}\) nie są całkowite.

[Tacit]

Dzięki za pomoc.

[Aerosmith]

Vax, skąd pochodzi to Twierdzenie które zastosowałeś?

[Vax]

Jest to ogólnie znany fakt, możesz spróbować to udowodnić, dowód nie jest ciężki

Pozdrawiam.

[Aerosmith]

No to fajnie. Nie znałem tego. Teraz to zadanie wydaje się banalne.

[Flaku]

Moje rozwiązanie wydaje mi sie prostsze i bez mniej znanych twierdzen, co o nim myslicie?, zamiast odejmowac stronami to dodaję, ale wczesniej w drugim rownaniu wyciagam minusa z pod potęgi więc wygląda ono tak:

\(\displaystyle{ 2=-3^{5}a+3^{4}b-3^{3}c+3^{2}d-3e+f}\)
odejmujemy stonami o dostajemy:
\(\displaystyle{ 3=2 \cdot 3^{4}b+2 \cdot 3^{2}d+2f\\
\frac{3}{2}=3^{4}b+3^{2}d+f}\)

suma czynnikow calkowytych nie moze byc rowna \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) wiec przynajmniej jeden z czynnikow nie jest calkowity a co za tym idzie jeden z parametrow rowniez.

Co o tym myslicie?

[kammeleon18]

Moje rozwiązanie wydaje mi sie prostsze i bez mniej znanych twierdzen, co o nim myslicie?, zamiast odejmowac stronami to dodaję, ale wczesniej w drugim rownaniu wyciagam minusa z pod potęgi więc wygląda ono tak:

\(\displaystyle{ 2=-3^{5}a+3^{4}b-3^{3}c+3^{2}d-3e+f}\)
odejmujemy stonami o dostajemy:
\(\displaystyle{ 3=2 \cdot 3^{4}b+2 \cdot 3^{2}d+2f\\
\frac{3}{2}=3^{4}b+3^{2}d+f}\)

suma czynnikow calkowytych nie moze byc rowna \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) wiec przynajmniej jeden z czynnikow nie jest calkowity a co za tym idzie jeden z parametrow rowniez.

Co o tym myslicie?

ze przepisałeś moje rozwiązanie używając nieco innych słów:P

[Flaku]

Moje rozwiązanie wydaje mi sie prostsze i bez mniej znanych twierdzen, co o nim myslicie?, zamiast odejmowac stronami to dodaję, ale wczesniej w drugim rownaniu wyciagam minusa z pod potęgi więc wygląda ono tak:

\(\displaystyle{ 2=-3^{5}a+3^{4}b-3^{3}c+3^{2}d-3e+f}\)
odejmujemy stonami o dostajemy:
\(\displaystyle{ 3=2 \cdot 3^{4}b+2 \cdot 3^{2}d+2f\\
\frac{3}{2}=3^{4}b+3^{2}d+f}\)

suma czynnikow calkowytych nie moze byc rowna \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) wiec przynajmniej jeden z czynnikow nie jest calkowity a co za tym idzie jeden z parametrow rowniez.

Co o tym myslicie?

ze przepisałeś moje rozwiązanie używając nieco innych słów:P

hmm szczerze to nie zrozumiałem go dopiero teraz jak napisałeś ze to to samo mniej więcej je załapałem