Wykaż, że nie wszystkie współczynniki wielomianu W są licz
-
- Użytkownik
- Posty: 18
- Rejestracja: 6 mar 2011, o 16:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowy Sącz
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1 raz
Wykaż, że nie wszystkie współczynniki wielomianu W są licz
Wielomian W jest wielomianem stopnia \(\displaystyle{ 5}\) i spełnia warunki: \(\displaystyle{ W (3) = 1}\) oraz \(\displaystyle{ W W( - 3) = 2}\) . Wykaż, że nie wszystkie współczynniki wielomianu W są liczbami całkowitymi.
Rozwiązuję następująco, używając twierdzenia o wielomianie o współczynnikach całkowitych:
\(\displaystyle{ \begin{cases} W(3) = a_{5}3 ^{5}+ a_{4}3 ^{4}+a_{3}3 ^{3}+ a_{2}3 ^{2}+ a_{1}3 ^{1}+a_{1} = 1 \\W( - 3) = a_{5}( - 3) ^{5}+a_{4}( - 3) ^{4}+ a_{3}( - 3) ^{3}+ a_{2}( - 3) ^{2}+ a_{1}( - 3) ^{1}+ a_{0} = 2 \end{cases}}\)
Potem odejmuję pierwsze równanie od drugiego, potęguję i dzielę przez \(\displaystyle{ 6}\).
\(\displaystyle{ 81 a ^{5} + \frac{1}{6}a _{4} + 9 _{3} + \frac{1}{6}a _{2} + a _{1} + \frac{1}{6}a _{0} = - \frac{1}{6}}\)
Jak widać wielomian nie wszystkie współczynniki ma całkowite.
Dobrze rozwiązałem?
Rozwiązuję następująco, używając twierdzenia o wielomianie o współczynnikach całkowitych:
\(\displaystyle{ \begin{cases} W(3) = a_{5}3 ^{5}+ a_{4}3 ^{4}+a_{3}3 ^{3}+ a_{2}3 ^{2}+ a_{1}3 ^{1}+a_{1} = 1 \\W( - 3) = a_{5}( - 3) ^{5}+a_{4}( - 3) ^{4}+ a_{3}( - 3) ^{3}+ a_{2}( - 3) ^{2}+ a_{1}( - 3) ^{1}+ a_{0} = 2 \end{cases}}\)
Potem odejmuję pierwsze równanie od drugiego, potęguję i dzielę przez \(\displaystyle{ 6}\).
\(\displaystyle{ 81 a ^{5} + \frac{1}{6}a _{4} + 9 _{3} + \frac{1}{6}a _{2} + a _{1} + \frac{1}{6}a _{0} = - \frac{1}{6}}\)
Jak widać wielomian nie wszystkie współczynniki ma całkowite.
Dobrze rozwiązałem?
Ostatnio zmieniony 7 mar 2011, o 21:37 przez Tacit, łącznie zmieniany 4 razy.
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Wykaż, że nie wszystkie współczynniki wielomianu W są licz
Skorzystamy z tego, że jak wielomian ma pierwiastki całkowite to zachodzi:
\(\displaystyle{ a-b | W(a) - W(b)}\)
\(\displaystyle{ 3-(-3) | W(3) - W(-3)}\)
\(\displaystyle{ 6 | 1 - 2 = -1}\)
Sprzeczność, czyli dany wielomian nie ma pierwiastków całkowitych.
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ a-b | W(a) - W(b)}\)
\(\displaystyle{ 3-(-3) | W(3) - W(-3)}\)
\(\displaystyle{ 6 | 1 - 2 = -1}\)
Sprzeczność, czyli dany wielomian nie ma pierwiastków całkowitych.
Pozdrawiam.
-
- Użytkownik
- Posty: 306
- Rejestracja: 10 maja 2008, o 11:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Pomógł: 36 razy
Wykaż, że nie wszystkie współczynniki wielomianu W są licz
zle odjales stronami,powinno sie zredukowac duzoTacit pisze:Wielomian W jest wielomianem stopnia \(\displaystyle{ 5}\) i spełnia warunki: \(\displaystyle{ W (3) = 1}\) oraz \(\displaystyle{ W (− 3) = 2}\) . Wykaż, że nie wszystkie współczynniki wielomianu W są liczbami całkowitymi.
Rozwiązuję następująco, używając twierdzenia o wielomianie o współczynnikach całkowitych:
\(\displaystyle{ \begin{cases} W(3) = a_{5}3 ^{5}+ a_{4}3 ^{4}+a_{3}3 ^{3}+ a_{2}3 ^{2}+ a_{1}3 ^{1}+a_{1} = 1 \\W( - 3) = a_{5}( - 3) ^{5}+a_{4}( - 3) ^{4}+ a_{3}( - 3) ^{3}+ a_{2}( - 3) ^{2}+ a_{1}( - 3) ^{1}+ a_{0} = 2 \end{cases}}\)
Potem odejmuję pierwsze równanie od drugiego, potęguję i dzielę przez \(\displaystyle{ 6}\).
\(\displaystyle{ 81 a ^{5} + \frac{1}{6}a _{4} + 9 _{3} + \frac{1}{6}a _{2} + a _{1} + \frac{1}{6}a _{0} = - \frac{1}{6}}\)
Jak widać wielomian nie wszystkie współczynniki ma całkowite.
Dobrze rozwiązałem?
-
- Użytkownik
- Posty: 18
- Rejestracja: 6 mar 2011, o 16:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowy Sącz
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1 raz
Wykaż, że nie wszystkie współczynniki wielomianu W są licz
Racja, jeszcze \(\displaystyle{ a _{0}}\) się redukuje.
\(\displaystyle{ 81 a ^{5} + \frac{1}{6}a _{4} + 9 _{3} + \frac{1}{6}a _{2} + a _{1} = - \frac{1}{6}}\)
Teraz powinno być dobrze?
\(\displaystyle{ 81 a ^{5} + \frac{1}{6}a _{4} + 9 _{3} + \frac{1}{6}a _{2} + a _{1} = - \frac{1}{6}}\)
Teraz powinno być dobrze?
-
- Użytkownik
- Posty: 306
- Rejestracja: 10 maja 2008, o 11:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Pomógł: 36 razy
Wykaż, że nie wszystkie współczynniki wielomianu W są licz
to ja napisze całe rozwiązanie
\(\displaystyle{ \begin{cases} W(3) = a_{5}3 ^{5}+ a_{4}3 ^{4}+a_{3}3 ^{3}+ a_{2}3 ^{2}+ a_{1}3 ^{1}+a_{0} = 1 \\W( - 3) = a_{5}( - 3) ^{5}+a_{4}( - 3) ^{4}+ a_{3}( - 3) ^{3}+ a_{2}( - 3) ^{2}+ a_{1}( - 3) ^{1}+ a_{0} = 2 \end{cases}}\)
dodając stronami otrzymujemy(nawiasy kwadratowe oczywiście nie oznaczają części całkowitej w tym przypadku)
\(\displaystyle{ [a_{5}3 ^{5}+a_{5}( - 3) ^{5}]+ [a_{4}3 ^{4}+a_{4}( - 3) ^{4}]+[a_{3}3 ^{3}+a_{3}( - 3) ^{3}]+[a_{2}3 ^{2}+a_{2}( - 3) ^{2}]+[a_{1}3 ^{1}+a_{1}( - 3) ^{1}]+[a_{0}+ a_{0}]=
2(a_{4}3 ^{4}+a_{2}3 ^{2}+a_0)=3}\)
korzystając z faktu,że współczynniki są liczbami całkowitymi otrzymujemy 2|3.sprzeczność.
Tacit,z tego,że\(\displaystyle{ 81 a ^{5} + \frac{1}{6}a _{4} + 9 _{3} + \frac{1}{6}a _{2} + a _{1} = - \frac{1}{6}}\) (btw jest to błędny wniosek)nie wynika,że liczby \(\displaystyle{ a_1.a_2.a_3,a_4,a_5}\) nie są całkowite.
\(\displaystyle{ \begin{cases} W(3) = a_{5}3 ^{5}+ a_{4}3 ^{4}+a_{3}3 ^{3}+ a_{2}3 ^{2}+ a_{1}3 ^{1}+a_{0} = 1 \\W( - 3) = a_{5}( - 3) ^{5}+a_{4}( - 3) ^{4}+ a_{3}( - 3) ^{3}+ a_{2}( - 3) ^{2}+ a_{1}( - 3) ^{1}+ a_{0} = 2 \end{cases}}\)
dodając stronami otrzymujemy(nawiasy kwadratowe oczywiście nie oznaczają części całkowitej w tym przypadku)
\(\displaystyle{ [a_{5}3 ^{5}+a_{5}( - 3) ^{5}]+ [a_{4}3 ^{4}+a_{4}( - 3) ^{4}]+[a_{3}3 ^{3}+a_{3}( - 3) ^{3}]+[a_{2}3 ^{2}+a_{2}( - 3) ^{2}]+[a_{1}3 ^{1}+a_{1}( - 3) ^{1}]+[a_{0}+ a_{0}]=
2(a_{4}3 ^{4}+a_{2}3 ^{2}+a_0)=3}\)
korzystając z faktu,że współczynniki są liczbami całkowitymi otrzymujemy 2|3.sprzeczność.
Tacit,z tego,że\(\displaystyle{ 81 a ^{5} + \frac{1}{6}a _{4} + 9 _{3} + \frac{1}{6}a _{2} + a _{1} = - \frac{1}{6}}\) (btw jest to błędny wniosek)nie wynika,że liczby \(\displaystyle{ a_1.a_2.a_3,a_4,a_5}\) nie są całkowite.
Wykaż, że nie wszystkie współczynniki wielomianu W są licz
Vax, skąd pochodzi to Twierdzenie które zastosowałeś?
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Wykaż, że nie wszystkie współczynniki wielomianu W są licz
Jest to ogólnie znany fakt, możesz spróbować to udowodnić, dowód nie jest ciężki
Pozdrawiam.
Pozdrawiam.
Wykaż, że nie wszystkie współczynniki wielomianu W są licz
No to fajnie. Nie znałem tego. Teraz to zadanie wydaje się banalne.
Wykaż, że nie wszystkie współczynniki wielomianu W są licz
Moje rozwiązanie wydaje mi sie prostsze i bez mniej znanych twierdzen, co o nim myslicie?, zamiast odejmowac stronami to dodaję, ale wczesniej w drugim rownaniu wyciagam minusa z pod potęgi więc wygląda ono tak:
\(\displaystyle{ 2=-3^{5}a+3^{4}b-3^{3}c+3^{2}d-3e+f}\)
odejmujemy stonami o dostajemy:
\(\displaystyle{ 3=2 \cdot 3^{4}b+2 \cdot 3^{2}d+2f\\
\frac{3}{2}=3^{4}b+3^{2}d+f}\)
suma czynnikow calkowytych nie moze byc rowna \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) wiec przynajmniej jeden z czynnikow nie jest calkowity a co za tym idzie jeden z parametrow rowniez.
Co o tym myslicie?
\(\displaystyle{ 2=-3^{5}a+3^{4}b-3^{3}c+3^{2}d-3e+f}\)
odejmujemy stonami o dostajemy:
\(\displaystyle{ 3=2 \cdot 3^{4}b+2 \cdot 3^{2}d+2f\\
\frac{3}{2}=3^{4}b+3^{2}d+f}\)
suma czynnikow calkowytych nie moze byc rowna \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) wiec przynajmniej jeden z czynnikow nie jest calkowity a co za tym idzie jeden z parametrow rowniez.
Co o tym myslicie?
-
- Użytkownik
- Posty: 306
- Rejestracja: 10 maja 2008, o 11:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Pomógł: 36 razy
Wykaż, że nie wszystkie współczynniki wielomianu W są licz
ze przepisałeś moje rozwiązanie używając nieco innych słów:PFlaku pisze:Moje rozwiązanie wydaje mi sie prostsze i bez mniej znanych twierdzen, co o nim myslicie?, zamiast odejmowac stronami to dodaję, ale wczesniej w drugim rownaniu wyciagam minusa z pod potęgi więc wygląda ono tak:
\(\displaystyle{ 2=-3^{5}a+3^{4}b-3^{3}c+3^{2}d-3e+f}\)
odejmujemy stonami o dostajemy:
\(\displaystyle{ 3=2 \cdot 3^{4}b+2 \cdot 3^{2}d+2f\\
\frac{3}{2}=3^{4}b+3^{2}d+f}\)
suma czynnikow calkowytych nie moze byc rowna \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) wiec przynajmniej jeden z czynnikow nie jest calkowity a co za tym idzie jeden z parametrow rowniez.
Co o tym myslicie?
Wykaż, że nie wszystkie współczynniki wielomianu W są licz
hmm szczerze to nie zrozumiałem go dopiero teraz jak napisałeś ze to to samo mniej więcej je załapałemSchmudeJanusz pisze:ze przepisałeś moje rozwiązanie używając nieco innych słów:PFlaku pisze:Moje rozwiązanie wydaje mi sie prostsze i bez mniej znanych twierdzen, co o nim myslicie?, zamiast odejmowac stronami to dodaję, ale wczesniej w drugim rownaniu wyciagam minusa z pod potęgi więc wygląda ono tak:
\(\displaystyle{ 2=-3^{5}a+3^{4}b-3^{3}c+3^{2}d-3e+f}\)
odejmujemy stonami o dostajemy:
\(\displaystyle{ 3=2 \cdot 3^{4}b+2 \cdot 3^{2}d+2f\\
\frac{3}{2}=3^{4}b+3^{2}d+f}\)
suma czynnikow calkowytych nie moze byc rowna \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) wiec przynajmniej jeden z czynnikow nie jest calkowity a co za tym idzie jeden z parametrow rowniez.
Co o tym myslicie?