\(\displaystyle{ x^3-15x^2+800=0}\)
jak rozwiązać to równanie?
równanie wielomianowe
-
Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
równanie wielomianowe
\(\displaystyle{ x^3-15x^2+800=0}\)
Podstawmy \(\displaystyle{ x=y+5}\)
\(\displaystyle{ (y+5)^3-15(y+5)^2+800=0}\)
\(\displaystyle{ y^3+15y^2+75y+125-15(y^2+10y+25)+800=0}\)
\(\displaystyle{ y^3-75y+550=0}\)
Teraz podstawmy:
\(\displaystyle{ y=u+v}\)
\(\displaystyle{ (u+v)^3-75(u+v)+550=0}\)
\(\displaystyle{ u^3+v^3+3uv(u+v)-75(u+v)+550=0}\)
\(\displaystyle{ u^3+v^3+(u+v)(3uv-75)+550=0}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3 = -550\\ 3uv-75=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3\\ u^3v^3 = 15625 \end{cases}}\)
Zauważmy, że są to wzory Viete'a, dla równania kwadratowego o niewiadomych \(\displaystyle{ v^3 \wedge u^3}\), przyjmując, że współczynnik kierunkowy wynosi 1, otrzymujemy takie równanie kwadratowe:
\(\displaystyle{ z^2+550z+15625=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=240000}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = 200\sqrt{6}}\)
\(\displaystyle{ z = \frac{-550\pm 200\sqrt{6}}{2} = -275\pm 100\sqrt{6}}\)
\(\displaystyle{ y = u+v = \sqrt[3]{-275+100\sqrt{6}} + \sqrt[3]{-275-100\sqrt{6}}}\)
\(\displaystyle{ x = y+5 = \sqrt[3]{-275+100\sqrt{6}} + \sqrt[3]{-275-100\sqrt{6}} + 5}\)
Pozdrawiam.
Podstawmy \(\displaystyle{ x=y+5}\)
\(\displaystyle{ (y+5)^3-15(y+5)^2+800=0}\)
\(\displaystyle{ y^3+15y^2+75y+125-15(y^2+10y+25)+800=0}\)
\(\displaystyle{ y^3-75y+550=0}\)
Teraz podstawmy:
\(\displaystyle{ y=u+v}\)
\(\displaystyle{ (u+v)^3-75(u+v)+550=0}\)
\(\displaystyle{ u^3+v^3+3uv(u+v)-75(u+v)+550=0}\)
\(\displaystyle{ u^3+v^3+(u+v)(3uv-75)+550=0}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3 = -550\\ 3uv-75=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3\\ u^3v^3 = 15625 \end{cases}}\)
Zauważmy, że są to wzory Viete'a, dla równania kwadratowego o niewiadomych \(\displaystyle{ v^3 \wedge u^3}\), przyjmując, że współczynnik kierunkowy wynosi 1, otrzymujemy takie równanie kwadratowe:
\(\displaystyle{ z^2+550z+15625=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=240000}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = 200\sqrt{6}}\)
\(\displaystyle{ z = \frac{-550\pm 200\sqrt{6}}{2} = -275\pm 100\sqrt{6}}\)
\(\displaystyle{ y = u+v = \sqrt[3]{-275+100\sqrt{6}} + \sqrt[3]{-275-100\sqrt{6}}}\)
\(\displaystyle{ x = y+5 = \sqrt[3]{-275+100\sqrt{6}} + \sqrt[3]{-275-100\sqrt{6}} + 5}\)
Pozdrawiam.