Znaleźć wielomiany spełniające warunek

[addmir]

Znaleźć wszystkie wielomiany \(\displaystyle{ W(x)}\) takie, że \(\displaystyle{ (x+1) W(x+1)=(x+2) W(x)}\)

Mam rozwiązanie, ale nie jestem go pewien.

Podstawiając \(\displaystyle{ x=-1}\) mamy:
\(\displaystyle{ W(-1)=0}\)

Podstawiając \(\displaystyle{ x=x-1}\), a potem \(\displaystyle{ x=x-2}\), bo \(\displaystyle{ x \in R}\) mamy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x W(x)=(x+1) W(x-1) \\ x W(x-2)=(x-1) W(x-1) \end{cases}}\)

Dodając stronami:
\(\displaystyle{ x W(x) + x W(x-2) = (x+1) W(x-1) + (x-1) W(x-1) \\ x[W(x)+W(x-2)]=W(x-1) * 2x \\ x[W(x)+W(x-2)-2*W(x-1)]=0 \\ \left( x=0 \vee \frac{W(x)+W(x-2)}{2} =W(x-1) \right) \wedge W(-1)=0}\)

No i teraz tak intuicyjnie, to ten ostatni warunek mogą spełniać wielomian zerowy lub wielomiany stopnia pierwszego, po wyliczenia wyszło mi, że wszystkie wielomiany postaci:
\(\displaystyle{ W(x)=a(x+1)}\), gdzie a - dowolna liczba rzeczywista

No i nie wiem jak ten ostatni akapit udowodnić tak matematycznie. (Jeśli w ogóle mój tok myślenia jest ok)

Proszę o pomoc

[kropka+]

Rozwiązanie \(\displaystyle{ x= 0}\) jest złe, bo wyjściowe równanie ma zachodzić dla każdego \(\displaystyle{ x \in R}\). Uzasadnienie, że rozwiązaniem jest funkcja liniowa może być takie:

\(\displaystyle{ x-1}\) jest równooddalony od \(\displaystyle{ x-2 \ i \ x}\)
Wartość wielomianu \(\displaystyle{ W(x-1)}\) też jest średnią arytmetyczną wartości wielomianów \(\displaystyle{ W(x-2) \ i \ W(x)}\).
Taka zależność zachodzi tylko dla funkcji liniowej, czyli:

\(\displaystyle{ W(x)= ax+b \wedge W(-1)= 0 \Rightarrow 0= -a+ b \Rightarrow a=b \\ \\
czyli \ szukana \ funkcja \ liniowa \ ma \ postac: \\ \\
y= ax+ a \Rightarrow y= a(x+ 1) \ a \in R}\)

Zauważ, że do tego rozwiązania również wchodzi wielomian zerowy (dla \(\displaystyle{ a=0}\))

[TheBill]

Nie rozumiem, skąd wzięło się drugie równanie w tym układzie równań?