Pierwiastki wielomianu

Mariusz1234 · Post autor: **Mariusz1234** » 4 mar 2011, o 19:42

Licząc pewne zadanie natrafiłem na pewien wielomian :

\(\displaystyle{ F(x) = x^5 + 4x^4 + x^2 + 4}\)

A teraz pytanie jakbym miał na przykład zadanie. Udowodnij, że wielomian \(\displaystyle{ F(x)}\) nie ma pierwiastków. Wiem, że nie ma bo wykres funkcji nie przecina osi OX a tego wielomianu w postaci czynników iloczynowych nie potrafię przedstawić. Istnieje jakiś fajny sposób na pokazanie, że nie ma tu pierwiastków ?

pipol · Post autor: **pipol** » 4 mar 2011, o 19:47

No ten wielomian akurat ma pierwiastki rzeczywiste bo jest stopnia nieparzystego.

Mariusz1234 · Post autor: **Mariusz1234** » 4 mar 2011, o 20:33

Ahh rzeczywiście. Zmylił mnie wykres na stronie jogle do rysowania wykresów online. Dziwnie tam linia była przerywana i akurat była przerywana w miejscu gdzie jest oś OX. W każdym razie. Nawet jeżeli są pierwiastki niewymierne to można je w jakiś sposób znaleźć ??

pipol · Post autor: **pipol** » 4 mar 2011, o 20:39

jeżeli stopień wielomianu \(\displaystyle{ \le 4}\) to można, jeżeli zaś stopień wielomianu \(\displaystyle{ > 4}\) to w ogólnym przypadku pozostają tylko metody przybliżone.

Mariusz1234 · Post autor: **Mariusz1234** » 4 mar 2011, o 21:37

Ahh zapewne ma to związek z tym co udowodnił pan Abel. No nic dzięki za odpowiedź.

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 12 mar 2011, o 16:44

Można sprawdzić czy równanie da się rozwiązać
za pomocą funkcji elementarnych (Teoria Galois i takie tam)

A jeśli nie to funkcje modularne lub hipergeometryczne