nierówność do czwartej potegi

[thaneo]

Mam problem z rozwiązaniem tej nierówności:
\(\displaystyle{ a^{4} + b^{4} \ge \frac{1}{8} \wedge a+b=1}\)
Kolejny raz z góry dziękuje za pomoc =)

[piasek101]

Chodzi o wykazanie pierwszej gdy zachodzi podane równanie ?

[ElusiveN]

Zauważ, że nierówność jest równoważna:

\(\displaystyle{ a^4 + b^4 \ge \frac{(a+b)^4}{8}}\)

\(\displaystyle{ 8(a^4 + b^4) \ge a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4}\)

Teraz coś pozawijaj i będzie dobrze

[thaneo]

Rozwijam i rozwijam , a tu nic nie chce wyjść ;D-- 3 mar 2011, o 22:56 --

Chodzi o wykazanie pierwszej gdy zachodzi podane równanie ?

Tak ,a+b=1 jest zalozeniem =)

[bosa_Nike]

Rozwijam i rozwijam , a tu nic nie chce wyjść ;D

Przenieś wszystko na lewą stronę i skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ 7=3+4}\).

[thaneo]

Doszedłem do takiej postaci :
\(\displaystyle{ ( \sqrt{3}a^{2} + \sqrt{3}b^{2}) + 4( a^{4} - a^{3}b -ab^{3} + b^{4}) \ge 0}\)
I dalej to ani w jedną , ani w drugą stronę ... Próbowałem to rozwijać ,zwijać ,zawijać i inne cuda wianki ale nic nie chce wyjść.

Czy mógłby ktoś podsunąć jakieś rozwiązanie ? Z góry dziękuję.

[piasek101]

Pamiętam, że zacząłem tak :

\(\displaystyle{ \left( (a+b)^2-2ab\right)^2-2a^2 b^2\geq \frac{1}{8}}\) wstawić zamiast (a+b); pobawić się

znowu wstawić np zamiast (b); otrzymać postać \(\displaystyle{ (kwadratowe)(inne kwadratowe)\geq 0}\) (oba o (a) dodatnich i o ujemnych deltach, a może tylko niedodatnich deltach - nie pamiętam dokładnie)

[Vax]

\(\displaystyle{ 8a^4+8b^4 \ge a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4}\)

\(\displaystyle{ 7a^4-4a^3b-6a^2b^2-4ab^3+7b^4 \ge 0}\)

\(\displaystyle{ (a-b)^2(7a^2+10ab+7b^2) \ge 0}\)

Pozdrawiam.