nierówność do czwartej potegi
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 4 gru 2009, o 17:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: jaroslaw
- Podziękował: 2 razy
nierówność do czwartej potegi
Mam problem z rozwiązaniem tej nierówności:
\(\displaystyle{ a^{4} + b^{4} \ge \frac{1}{8} \wedge a+b=1}\)
Kolejny raz z góry dziękuje za pomoc =)
\(\displaystyle{ a^{4} + b^{4} \ge \frac{1}{8} \wedge a+b=1}\)
Kolejny raz z góry dziękuje za pomoc =)
nierówność do czwartej potegi
Zauważ, że nierówność jest równoważna:
\(\displaystyle{ a^4 + b^4 \ge \frac{(a+b)^4}{8}}\)
\(\displaystyle{ 8(a^4 + b^4) \ge a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4}\)
Teraz coś pozawijaj i będzie dobrze
\(\displaystyle{ a^4 + b^4 \ge \frac{(a+b)^4}{8}}\)
\(\displaystyle{ 8(a^4 + b^4) \ge a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4}\)
Teraz coś pozawijaj i będzie dobrze
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 4 gru 2009, o 17:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: jaroslaw
- Podziękował: 2 razy
nierówność do czwartej potegi
Rozwijam i rozwijam , a tu nic nie chce wyjść ;D-- 3 mar 2011, o 22:56 --
Tak ,a+b=1 jest zalozeniem =)piasek101 pisze:Chodzi o wykazanie pierwszej gdy zachodzi podane równanie ?
-
- Użytkownik
- Posty: 1664
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 445 razy
nierówność do czwartej potegi
Przenieś wszystko na lewą stronę i skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ 7=3+4}\).thaneo pisze:Rozwijam i rozwijam , a tu nic nie chce wyjść ;D
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 4 gru 2009, o 17:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: jaroslaw
- Podziękował: 2 razy
nierówność do czwartej potegi
Doszedłem do takiej postaci :
\(\displaystyle{ ( \sqrt{3}a^{2} + \sqrt{3}b^{2}) + 4( a^{4} - a^{3}b -ab^{3} + b^{4}) \ge 0}\)
I dalej to ani w jedną , ani w drugą stronę ... Próbowałem to rozwijać ,zwijać ,zawijać i inne cuda wianki ale nic nie chce wyjść.
Czy mógłby ktoś podsunąć jakieś rozwiązanie ? Z góry dziękuję.
\(\displaystyle{ ( \sqrt{3}a^{2} + \sqrt{3}b^{2}) + 4( a^{4} - a^{3}b -ab^{3} + b^{4}) \ge 0}\)
I dalej to ani w jedną , ani w drugą stronę ... Próbowałem to rozwijać ,zwijać ,zawijać i inne cuda wianki ale nic nie chce wyjść.
Czy mógłby ktoś podsunąć jakieś rozwiązanie ? Z góry dziękuję.
-
- Użytkownik
- Posty: 23495
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
nierówność do czwartej potegi
Pamiętam, że zacząłem tak :
\(\displaystyle{ \left( (a+b)^2-2ab\right)^2-2a^2 b^2\geq \frac{1}{8}}\) wstawić zamiast (a+b); pobawić się
znowu wstawić np zamiast (b); otrzymać postać \(\displaystyle{ (kwadratowe)(inne kwadratowe)\geq 0}\) (oba o (a) dodatnich i o ujemnych deltach, a może tylko niedodatnich deltach - nie pamiętam dokładnie)
\(\displaystyle{ \left( (a+b)^2-2ab\right)^2-2a^2 b^2\geq \frac{1}{8}}\) wstawić zamiast (a+b); pobawić się
znowu wstawić np zamiast (b); otrzymać postać \(\displaystyle{ (kwadratowe)(inne kwadratowe)\geq 0}\) (oba o (a) dodatnich i o ujemnych deltach, a może tylko niedodatnich deltach - nie pamiętam dokładnie)
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
nierówność do czwartej potegi
\(\displaystyle{ 8a^4+8b^4 \ge a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4}\)
\(\displaystyle{ 7a^4-4a^3b-6a^2b^2-4ab^3+7b^4 \ge 0}\)
\(\displaystyle{ (a-b)^2(7a^2+10ab+7b^2) \ge 0}\)
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ 7a^4-4a^3b-6a^2b^2-4ab^3+7b^4 \ge 0}\)
\(\displaystyle{ (a-b)^2(7a^2+10ab+7b^2) \ge 0}\)
Pozdrawiam.