"Prosta nierówność"

[thaneo]

Do udowodnienia mam dwie nierówności:
1. \(\displaystyle{ (a-b)^{2} +(b-c) ^{2} + (c-a) ^{2} \le 3 \wedge a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} =1}\)
Doszedłem do nierówności :
\(\displaystyle{ ab+ac+bc \ge 1}\)
i się zaciąłem.

Z góry dziękuje za pomoc ;p

[siabal]

\(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} -2ab + b^{2} + c^{2} -2bc + c^{2} + a^{2} -2ac \le 3}\)
\(\displaystyle{ 2 \left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right) -2\left(ab + bc + ac \right) \le 3}\)
stądinąd wiemy, że
\(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} + c^{2} \ge ab + bc +ca}\)
uwzględniając założenia mamy
\(\displaystyle{ 1 \ge ab + bc +ca \Rightarrow 2 \ge 2\left(ab + bc +ca \right)}\)
czyli
\(\displaystyle{ 0=2 \left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right) - 2 \left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right) \le 2 \left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right) -2\left(ab + bc + ac \right) \le 2}\)
\(\displaystyle{ 0 \le 2 -2\left(ab + bc + ac \right) \le 2 \le 3}\)
co kończy dowód.

[bosa_Nike]

\(\displaystyle{ (a-b)^{2} +(b-c) ^{2} + (c-a) ^{2} \le 3(a^2+b^2+c^2)\ \iff\ 0\le(a+b+c)^2}\)

\(\displaystyle{ 2 \left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right) -2\left(ab + bc + ac \right) \le 2}\)

Tu potrzebujesz \(\displaystyle{ ab+ac+bc\ge 0}\), a tego nie pokażesz przy danym warunku - weź np. \(\displaystyle{ a=\frac{1}{\sqrt{2}},\ b=-c=\frac{1}{2}}\). Pokażesz natomiast \(\displaystyle{ ab+ac+bc\ge -\frac{1}{2}}\) i to wystarczy do poprawnego dowodu.

[thaneo]

Pokażesz natomiast \(\displaystyle{ ab+ac+bc\ge -\frac{1}{2}}\) i to wystarczy do poprawnego dowodu.

Jak to pokazać ?;>

[Vax]

\(\displaystyle{ ab+ac+bc \ge -\frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ ab+ac+bc \ge -\frac{a^2+b^2+c^2}{2}}\)

\(\displaystyle{ 2ab+2ac+2bc \ge -a^2-b^2-c^2}\)

\(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac \ge 0}\)

\(\displaystyle{ (a+b+c)^2 \ge 0}\)

Pozdrawiam.

[bosa_Nike]

\(\displaystyle{ (a+b+c)^2\ge 0\ \iff\ ab+ac+bc\ge -\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

To dotyczy rozwiązania siabala. IMHO łatwiej posłużyć się pierwszą linijką mojego poprzedniego posta.

[thaneo]

Hah. Dzięki za podpowiedzi ;D Najlepsze jest to ,że to samo miałem w zeszycie , tylko zrobiłem mały błąd , który nie pozwolił mi kontynuować zadania. =) pozdrawiam