równanie wielomianowe

[chicho23]

Wykaż że równanie \(\displaystyle{ x^3+2x+7=0}\) ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty.

[Kamil Wyrobek]

Jak dla mnie to równanie nie ma ani jednego pierwiastka
bo to jest to samo co:

\(\displaystyle{ (x+1)^2+6}\) a to oznacza, że jest to wykres \(\displaystyle{ x^2}\) przesunięty o wektor \(\displaystyle{ \left[ -1,6\right]}\)

[anna_]

Ale tam jest wykładnik 3 a nie 2

Pochodne były?

[chicho23]

wykładnik jest 3. pochodnych nie było

[anna_]

Szkoda. Wystarczy udowodnić, że funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie. Ale bez pochodnych nie mam na to pomysłu.

[kamil13151]

Może coś pomogę.

\(\displaystyle{ x^3=-2x-7\\
x(x^2+2)=-7}\)
Z tego wynika, że równanie przyjmuje tylko wartości ujemne. Na pewno wynik jest z przedziału \(\displaystyle{ (-2;-1)}\).

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ x^3+2x+7=0\\
x=u+v\\
\left(u+v\right)^3+2\left(u+v\right)+7=0\\
u^3+3u^2v+3uv^2+u^3+2\left( u+v\right)+7=0\\
u^3+v^3+7+\left( u+v\right)\left( 3uv+2\right)\\
\begin{cases} u^3+v^3=-7 \\ uv=- \frac{2}{3} \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=-7 \\ u^3v^3=- \frac{8}{27} \end{cases}\\
t^2+7t- \frac{8}{27}=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta=7^2+ \frac{32}{27}>0}\)

Wyróżnik równania kwadratowego jest dodatni
zatem ma ono dwa pierwiastki rzeczywiste
a co za tym idzie nasze równanie trzeciego stopnia
ma tylko jeden pierwiastek rzeczywisty

[kamil13151]

\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3=-7 \\ uv=- \frac{2}{3} \end{cases}}\)

Skąd to wziąłeś, szczególnie te wyniki ?

[Vax]

@kamil13151 jest to jedna z metod rozwiązywania równań sześciennych. Jeżeli mamy wielomian w postaci kanonicznej:

\(\displaystyle{ x^3+px+q=0}\)

To możemy pierwiastek wyznaczyć podstawieniem \(\displaystyle{ x=u+v}\)

W naszym przykładzie dochodzimy do momentu gdzie mamy:

\(\displaystyle{ u^3+v^3+7+(u+v)(3uv+2) = 0}\)

Aby dane wyrażenie było równe 0 muszą zachodzić następujące 2 równości:

\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3 = -7\\ 3uv = -2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} u^3+v^3 = -7\\ u^3v^3 = -\frac{8}{27} \end{cases}}\)

Zauważ teraz, że są to wzory Viete'a dla trójmianu kwadratowego o pierwiastkach \(\displaystyle{ u^3}\) oraz \(\displaystyle{ v^3}\), przyjmując, że współczynnik kierunkowy naszego trójmianu jest równy 1, ze wzorów Viete'a otrzymujemy:

\(\displaystyle{ -b = -7 \wedge c=-\frac{8}{27}}\)

Stąd równanie którego pierwiastkami będą \(\displaystyle{ u^3}\) oraz \(\displaystyle{ v^3}\) jest postaci:

\(\displaystyle{ t^2+7t-\frac{8}{27}=0}\)

Dalej jest tak, jak napisał Mariuszm

Pozdrawiam.

[kamil13151]

Rozumiem, a możesz jeszcze powiedzieć jak się ta metoda nazywa?

Również, nie wiem dlaczego to zachodzi:

Wyróżnik równania kwadratowego jest dodatni
zatem ma ono dwa pierwiastki rzeczywiste
a co za tym idzie nasze równanie trzeciego stopnia
ma tylko jeden pierwiastek rzeczywisty

Równanie kwadratowe ma 2 rozwiązanie to czemu zostaje 1?

Bardzo dziękuje za wyjaśnienia.

[Mariusz M]

Aby znaleźć pozostałe pierwiastki równania trzeciego stopnia używasz
zespolonych pierwiastków trzeciego stopnia z jedynki
Gdy równanie kwadratowe ma dwa (różne) pierwiastki rzeczywiste to okaże się że
części urojone się nie wyzerują i nasze równanie trzeciego stopnia będzie miało
dwa sprzężone pierwiastki zespolone

[Dasio11]

Ojej...

Szkoda. Wystarczy udowodnić, że funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie. Ale bez pochodnych nie mam na to pomysłu.

Suma funkcji rosnących jest funkcją rosnącą? ;-p

Wykaż że równanie \(\displaystyle{ x^3+2x+7=0}\) ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty.

Przy takim poleceniu nie trzeba się bawić ze wzorami na równanie sześcienne... Wystarczy zdefiniować funkcję

\(\displaystyle{ f(x)=x^3+2x+7,}\)

zauważyć, że \(\displaystyle{ f(-2) \cdot f(-1) = (-5) \cdot 4 < 0,}\) i skorzystać z twierdzenia Darboux/Bolzano-Cauchy'ego (jakie kto zna). Na koniec fakt, że funkcja jest rosnąca.

[anna_]

Suma funkcji rosnących jest funkcją rosnącą? ;-p

A napisałam gdzieś coś takiego?

[Kamil Wyrobek]

Chodzi o to, że... może być dana funkcja:

\(\displaystyle{ x \in (- \infty , -2) \Rightarrow y=x+3}\)

\(\displaystyle{ x \in <-2 , 0) \Rightarrow y=x+1}\)

\(\displaystyle{ x \in <0 , 2) \Rightarrow y=x-1}\)

\(\displaystyle{ x \in <2 , \infty ) \Rightarrow y= x-3}\)

W całym przedziale rosnąca a jednak kilka miejsc zerowych

[anna_]

Mi chodzilo o to, że
\(\displaystyle{ f(x)=x^3+2x+7}\)
\(\displaystyle{ f'(x)=3x^2 + 2}\)
\(\displaystyle{ f'(x)>0}\) dla \(\displaystyle{ x \in R}\), więc \(\displaystyle{ f(x)}\) jest rosnąca dla \(\displaystyle{ x \in R}\)