3 pierwiastki spełniające warunek
-
- Użytkownik
- Posty: 61
- Rejestracja: 9 lis 2009, o 19:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Parzewo
3 pierwiastki spełniające warunek
Wyznacz liczby m i n, dla których równanie \(\displaystyle{ x ^{3} + mx + n = 0}\) ma trzy pierwiastki spełniające warunek \(\displaystyle{ x_{1} = x _{2} + 1 =x _{3} - 4}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 16323
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3245 razy
3 pierwiastki spełniające warunek
Dla prostszego zapisu przyjęłam
\(\displaystyle{ x_1=a}\)
\(\displaystyle{ x_2=a-1}\)
\(\displaystyle{ x_3=a+4}\)
\(\displaystyle{ (x-a)(x-a+1)(x-a-4)=x^3-x^2(3a+3)+x(3a^2+6a-4)+a(1-a)(a+4)=x^3+mx+n=0}\)
czyli
\(\displaystyle{ -(3a+3)=0 \Rightarrow a=-1}\)
\(\displaystyle{ m=3a^2+6a-4=3 \cdot (-1)^2 + 6 \cdot (-1)-4=-7}\)
\(\displaystyle{ n=a(1-a)(a+4)=-1 \cdot (1+1) \cdot (-1+4)=-6}\)
\(\displaystyle{ x_1=a}\)
\(\displaystyle{ x_2=a-1}\)
\(\displaystyle{ x_3=a+4}\)
\(\displaystyle{ (x-a)(x-a+1)(x-a-4)=x^3-x^2(3a+3)+x(3a^2+6a-4)+a(1-a)(a+4)=x^3+mx+n=0}\)
czyli
\(\displaystyle{ -(3a+3)=0 \Rightarrow a=-1}\)
\(\displaystyle{ m=3a^2+6a-4=3 \cdot (-1)^2 + 6 \cdot (-1)-4=-7}\)
\(\displaystyle{ n=a(1-a)(a+4)=-1 \cdot (1+1) \cdot (-1+4)=-6}\)