Rozłóż na czynniki wielomian

[pitergg]

Jak rozłożyć na czynniki ten wielomian?
\(\displaystyle{ W(x)=2x^4 + 32}\)

[lukasz1804]

Dodaj i odejmij \(\displaystyle{ 16x^2}\) i zastosuj wzory skróconego mnożenia.

[pitergg]

Hm... no nie wiem...
\(\displaystyle{ W(x)=(2x^4+32+16x^2)-16x^2=( \sqrt{2} x^2+4x)^2-16x^2}\)
?

[lukasz1804]

Popraw \(\displaystyle{ 2x^4+32+16x^2=(\sqrt{2}x^2+4x)^2}\), bo to nieprawda. Dalej zastosuj wzór na różnicę kwadratów. I gotowe.

[pitergg]

Mam chyba jakieś zamroczenie umysłu, jak ma więc wyglądać ten kwadrat sumy? Proszę podpowiedz jeszcze trochę.

[lukasz1804]

Trzeba zwyczajnie cierpliwie przekształcać.

Rozwiązanie:    

\(\displaystyle{ 2x^4+32=2x^4+16x^2+32-16x^2=2(x^4+8x^2+16)-16x^2=2(x^2+4)^2-(4x)^2=(\sqrt{2}x^2+4\sqrt{2})^2-(4x)^2=(\sqrt{2}x^2-4x+4\sqrt{2})(\sqrt{2}x^2+4x+4\sqrt{2})}\)