Obliczanie parametru a i wyznaczanie pierwiastka

fart411 · Post autor: **fart411** » 25 lut 2011, o 11:07

Reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=3x^3+(a^2+3)x^2-ax-a^3}\) przez dwumian \(\displaystyle{ (x+1)}\)wynosi \(\displaystyle{ -2}\). Oblicz wartość parametru a. Dla znalezionej wartości wyznacz pierwiastki wielomianu W(x).

W jaki sposób mam wyznaczyć parametr a? podstawiłem dla W (-1) i wyszło mi \(\displaystyle{ W(-1)=-a^3+a^2+a=-2}\) ale co dalej? jak później wyznaczyć pierwiastek?

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 25 lut 2011, o 11:53

Zanim polecono w zadaniu wyznaczenie pierwiastków, było napisane żebyś wyznaczył wartość parametru \(\displaystyle{ a}\) - więc zrób najpierw to. I tak na marginesie to otrzymałeś błędne równanie, bo po podstawieniu \(\displaystyle{ x=-1}\) pominąłeś pierwszy składnik tego wielomianu.

fart411 · Post autor: **fart411** » 25 lut 2011, o 12:29

W takim razie jak mam wyznaczyć ten parametr a? Proszę o pomoc, bo nie mam pojęcia co trzeba zrobić...

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 25 lut 2011, o 12:40

\(\displaystyle{ W(-1) = -2}\), tak jak napisałeś. Rozwiąż zatem równanie, gdzie niewiadomą jest \(\displaystyle{ a}\).

fart411 · Post autor: **fart411** » 25 lut 2011, o 12:51

No to przecież tak zrobiłem i z tego wychodzi, że \(\displaystyle{ W(-1)=-3+a^2+3+a-a^3}\) czyli \(\displaystyle{ -a^3+a^2+a=-2}\), ale nie wiem co dalej zrobić... mogę przerzucić -2 na drugą stronę i dostaje postać wielomianową, ale nic nie mogę wyłączyć przed nawias...

Post autor: **Afish** » 25 lut 2011, o 12:53

\(\displaystyle{ 2}\) jest pierwiastkiem.

fart411 · Post autor: **fart411** » 25 lut 2011, o 13:04

a skąd Ci to wyszło?

kamil13151 · Post autor: **kamil13151** » 25 lut 2011, o 13:08

Zapewne z twierdzenia Bezout'a.

fart411 · Post autor: **fart411** » 25 lut 2011, o 13:13

No tak, a jak teraz policzyć pierwiastki dla tego wielomianu?

Dla znalezionej wartości wyznacz pierwiastki wielomianu W(x).

czyli mamy \(\displaystyle{ W(x)=3x^3+7x^2-2x-8}\) czyli pierwiastek powinien być dzielnikiem liczby -8, ale w odpowiedziach do tego zadania jest \(\displaystyle{ -1 \frac{1}{3}}\)skąd to się wzięło?

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 25 lut 2011, o 13:17

Jeżeli wśród dzielników wyrazu wolnego nie ma pierwiastka tego wielomianu, to należy go szukać w ułamkach postaci \(\displaystyle{ \frac {p}{q}}\), gdzie \(\displaystyle{ p}\) to dzielnik wyrazu wolnego, a \(\displaystyle{ q}\) współczynnik przy najwyższej potędze.

kamil13151 · Post autor: **kamil13151** » 25 lut 2011, o 13:21

\(\displaystyle{ 3x^3+7x^2-2x-8=(x-1)(x+2)(3x+4)=0}\)

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 25 lut 2011, o 13:53

Zgadza się.

fart411 · Post autor: **fart411** » 25 lut 2011, o 13:54

kamil jeszcze jakbyś mógł napisać w jaki sposób osiągnąłeś taką postać iloczynową?

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 25 lut 2011, o 13:57

fart411, wystarczy znaleźć jeden pierwiastek (np. \(\displaystyle{ x=1}\)), a następnie korzystając z tw. Bezouta podzielić go przez dwumian \(\displaystyle{ x-1}\), dalej pozostanie tylko trójmian kwadratowy do rozłożenia na postać iloczynową.