Wyznacz n dla którego równanie ma rozwiązania

[myther]

Dla jakiego naturalnego n równanie \(\displaystyle{ x ^{n+1}+64=x ^{n}+64x}\) ma dokładnie:
a) dwa rozwiązania rzeczywiste
b) trzy rozwiązania całkowite (tu wyliczyłem n=2 i n=6)

Przekształciłem do postaci \(\displaystyle{ (x-1)(x ^{n}-64 )=0}\)

Jak wymyślić podpunkt a? Dziękuję za pomoc.

[lukasz1804]

a) wystarczy się zastanowić, dla jakich \(\displaystyle{ n}\) wielomian \(\displaystyle{ x^n-64}\) ma dokładnie jeden pierwiastek; łatwo widać, że dla parzystych wartości \(\displaystyle{ n}\) wielomian ten ma przynajmniej dwa różne pierwiastki (dodatni i ujemny); a dla \(\displaystyle{ n}\) nieparzystych funkcja \(\displaystyle{ x\mapsto x^n-64}\) jest rosnąca, więc ma dokładnie jedno miejsce zerowe.