Zadanko z wielomianów

pilka17 · Post autor: **pilka17** » 16 gru 2006, o 11:06

Cwiczenie
Wiedząc, że liczba a jest pierwiastkiem wielomianu w, znajdź jego pozostałe pierwiastki.

\(\displaystyle{ a)w(x)=x^{3}+5x^{2}-2x-8,a=-4}\)
\(\displaystyle{ b)w(x)=x^{3}+2x^{2}-2x-1,a=-1}\)
\(\displaystyle{ c)w(x)=x^{3}-x^{2}-10x-8,a=-2}\)
\(\displaystyle{ d)w(x)=x^{3}-4x^{2}-3x+18,a=3}\)

[ Dodano: 16 Grudzień 2006, 11:25 ]
w przykładzie a ma byc nie -2x tylko +2x

Piotrek89 · Post autor: **Piotrek89** » 16 gru 2006, o 11:45

dzielisz wielomian w(x) przez x-a, otrzymujesz rownanie kwadratowe z ktorego pierwiastki juz latwo znalesc

Jestemfajny · Post autor: **Jestemfajny** » 16 gru 2006, o 11:54

no to tak:D
wiesz jeden poierwiastek no to masz dzielenie przez dwumian wystarczy tabelke namalowac z hornera i masz:D
a)
\(\displaystyle{ (x+4)(x^{2}+x-2)\\
\Delta=9\\
x_{1}=-2\\
x_{2}=1\\
(x+4)(x+2)(x-1)\\}\)
b)
tam nie powinno byc a=1 a nie a=-1??:
c)
\(\displaystyle{ (x+2)(x^{3}-3x-4)\\
\Delta=25\\
x_{1}=-1\\
x_{2}=4\\
(x+2)(x+1)(x-4)\\}\)
d)
\(\displaystyle{ (x-3)(x^{2}-x-6)\\
\Delta=25\\
x_{1}=-2\\
x_{2}=3\\
(x-3)(x+2)(x-3)\\}\)

pilka17 · Post autor: **pilka17** » 16 gru 2006, o 11:55

w przykładfzie b)a=1 a nie -1

Jestemfajny · Post autor: **Jestemfajny** » 16 gru 2006, o 11:57

Czyli dobrze myślałem przy tym b)

b)
\(\displaystyle{ \\
(x-1)(x^2+3x+1)\\
\Delta=5\\
x_{1}=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}\\
x_{2}=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}\\}\)

pilka17 · Post autor: **pilka17** » 16 gru 2006, o 12:02

tak jak mozesz to zrób

[ Dodano: 16 Grudzień 2006, 12:13 ]
zrobiłes to na poziom klasy II technikum ??

pawelpq · Post autor: **pawelpq** » 16 gru 2006, o 13:13

zgodnie z prośbą:
pozostałe pierwiaski wielomianu można wyznaczyć korzystając z twierdzenia Bezouta i twierdzenia o rozkładzie wielomianu
Dla przykładu

pilka17 pisze:a)w(x)=x^{3}+5x^{2}-2x-8,a=-4

wiedząc że liczba a jest pierwiastkiem wielomianu wiemy że wielomian jest podzielny przez (x-a). W naszym przypadku będzie to miało postać (x+4)
Teraz musimy podzielic wielomian przez (x+4)
\(\displaystyle{ x^{3} + 5x^{2} + 2x - 8 x + 4) \,=\, x^{2} + x - 2}\)
\(\displaystyle{ -(x^{3} + 4x^{2})}\)
___________________________
\(\displaystyle{ x^{2} + 2x - 8}\)
\(\displaystyle{ -(x^{2} + 4x)}\)
____________________________
\(\displaystyle{ -2x - 8}\)
\(\displaystyle{ -( - 2x - 8)}\)
_____________________________
-- --

Teraz na podstawie twierdzenia o rozkladzie wielomianow otrzymujemy że:
\(\displaystyle{ w(x)\,=\,(x^{2} + x - 2)(x + 4)}\)

Wyznaczamy pierwiaski wielomianu
\(\displaystyle{ \Delta \,=\,1 + 8 + 9 x + 4\,=\,0}\)
\(\displaystyle{ x\,=\, - 2 x\,=\,1 x\,=\, - 4}\)

To by bylo tyle
pozdro