Wykaż że dla każdego naturalnego n

[myther]

Wykaż, że dla każdego naturalnego n wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x ^{3n+2}+x+1}\) jest podzielny przez trójmian kwadratowy \(\displaystyle{ x ^{2}+x+1}\)

[daniello]

dowód indukcyjny:

1) łatwo sprawdzić, że teza zachodzi dla n=1
2) załóżmy ze teza zachodzi n, pokażemy ze dla n+1 też zachodzi, co zakończy dowód.

ad.2

załóżmy ze dla n:
(1) \(\displaystyle{ x^{3n+2}+x+1 = (x^2+x+1) \cdot W(x)}\) dla pewnego W(x)

dla n+1:
\(\displaystyle{ x^{3n+5}+x+1 = x^{3n+2} \cdot x^3 +x+1 = (na podstawie (1) )
= [ (x^2+x+1) \cdot W(x)-(x+1)] \cdot x^3+x+1 = (x^2+x+1)W(x)x^3+(x+1)(1-x^3)=
(x^2+x+1)x^3W(x)+(x+1)(1-x)(x^2+x+1)}\)
co jest oczywiście podzielne przez \(\displaystyle{ x^2+x+1}\)

[myther]

A da się bez indukcji?

[daniello]

hmm.. moze poprostu tak:

\(\displaystyle{ x^{3n+2}+x+1 = (1+x+x^2)(1-x^2+x^3-x^5+x^6-...-x^{3n-1}+x^{3n})}\)