Wykaż że dla każdego naturalnego n
-
- Użytkownik
- Posty: 505
- Rejestracja: 3 kwie 2010, o 21:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sanok
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 2 razy
Wykaż że dla każdego naturalnego n
Wykaż, że dla każdego naturalnego n wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x ^{3n+2}+x+1}\) jest podzielny przez trójmian kwadratowy \(\displaystyle{ x ^{2}+x+1}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 45
- Rejestracja: 24 cze 2010, o 19:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 3 razy
Wykaż że dla każdego naturalnego n
dowód indukcyjny:
1) łatwo sprawdzić, że teza zachodzi dla n=1
2) załóżmy ze teza zachodzi n, pokażemy ze dla n+1 też zachodzi, co zakończy dowód.
ad.2
załóżmy ze dla n:
(1) \(\displaystyle{ x^{3n+2}+x+1 = (x^2+x+1) \cdot W(x)}\) dla pewnego W(x)
dla n+1:
\(\displaystyle{ x^{3n+5}+x+1 = x^{3n+2} \cdot x^3 +x+1 = (na podstawie (1) )
= [ (x^2+x+1) \cdot W(x)-(x+1)] \cdot x^3+x+1 = (x^2+x+1)W(x)x^3+(x+1)(1-x^3)=
(x^2+x+1)x^3W(x)+(x+1)(1-x)(x^2+x+1)}\)
co jest oczywiście podzielne przez \(\displaystyle{ x^2+x+1}\)
1) łatwo sprawdzić, że teza zachodzi dla n=1
2) załóżmy ze teza zachodzi n, pokażemy ze dla n+1 też zachodzi, co zakończy dowód.
ad.2
załóżmy ze dla n:
(1) \(\displaystyle{ x^{3n+2}+x+1 = (x^2+x+1) \cdot W(x)}\) dla pewnego W(x)
dla n+1:
\(\displaystyle{ x^{3n+5}+x+1 = x^{3n+2} \cdot x^3 +x+1 = (na podstawie (1) )
= [ (x^2+x+1) \cdot W(x)-(x+1)] \cdot x^3+x+1 = (x^2+x+1)W(x)x^3+(x+1)(1-x^3)=
(x^2+x+1)x^3W(x)+(x+1)(1-x)(x^2+x+1)}\)
co jest oczywiście podzielne przez \(\displaystyle{ x^2+x+1}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 45
- Rejestracja: 24 cze 2010, o 19:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 3 razy
Wykaż że dla każdego naturalnego n
hmm.. moze poprostu tak:
\(\displaystyle{ x^{3n+2}+x+1 = (1+x+x^2)(1-x^2+x^3-x^5+x^6-...-x^{3n-1}+x^{3n})}\)
\(\displaystyle{ x^{3n+2}+x+1 = (1+x+x^2)(1-x^2+x^3-x^5+x^6-...-x^{3n-1}+x^{3n})}\)