Znajdź resztę z dzielenia.

[slawek5170]

Reszta z dzielenia \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ x+3}\) jest równa \(\displaystyle{ 16}\). Pierwiastkiem wielomianu jest liczba \(\displaystyle{ 5}\). Wyznacz reszte z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ (x+3)(x-5)}\). Skad wiemy, którego stopnia ma byc wielomian?

[Qń]

Nie wiesz jakiego stopnia jest wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) i w ogóle Cię to nie interesuje, bo nie o to Cię pytają. Pytają Cię o resztę z dzielenia, a ta jest stopnia mniejszego niż to przez co dzielimy, jest więc postaci \(\displaystyle{ ax+b}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a,b}\) (które musisz znaleźć).

Skoro jest to reszta, to dla pewnego \(\displaystyle{ V(x)}\) jest:
\(\displaystyle{ W(x)= (x+3)(x-5)\cdot V(x) +ax+b}\)
By znaleźć \(\displaystyle{ a,b}\) podstaw do tej tożsamości \(\displaystyle{ x=-3}\) i \(\displaystyle{ x=5}\), a potem rozwiąż układ równań.

Q.

[slawek5170]

a co z ta 16, ona nie jest do niczego potrzebna? za bardzo nie rozumiem tego zapisu. skad sie wzielo \(\displaystyle{ V(x)}\)

[Qń]

\(\displaystyle{ 16}\) jest potrzebne, bo bez tej informacji nie będziesz wiedział jaką wartość przyjmuje wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) w punkcie \(\displaystyle{ -3}\).

A co do \(\displaystyle{ V(x)}\), to spójrz na analogię z liczbami całkowitymi. Jeśli chcemy podzielić \(\displaystyle{ 27}\) przez \(\displaystyle{ 6}\) to otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 27= 6\cdot 4 +3}\)
gdzie \(\displaystyle{ 3}\) jest resztą z dzielenia.
Co więcej dowolna liczba \(\displaystyle{ n}\) daje się podzielić przez sześć z resztą, tzn. istnieje takie \(\displaystyle{ k}\), że:
\(\displaystyle{ n=6\cdot k +r}\)
gdzie reszta \(\displaystyle{ r}\) to nieujemna liczba całkowita mniejsza od sześciu.

Z wielomianami jest podobnie. Na przykład jeśli chcemy podzielić \(\displaystyle{ x^3+1}\) przez \(\displaystyle{ x^2+1}\), to otrzymujemy:
\(\displaystyle{ x^3+1=(x^2+1)\cdot x + (-x+1)}\)
Co więcej, każdy wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) daje się podzielić z resztą przez \(\displaystyle{ x^2+1}\), tzn. istnieje taki wielomian \(\displaystyle{ V(x)}\), że:
\(\displaystyle{ W(x)=(x^2+1)\cdot V(x) + R(x)}\)
gdzie \(\displaystyle{ R(x)}\) to wielomian niższego stopnia niż \(\displaystyle{ x^2+1}\) (czyli co najwyżej pierwszego).

Dokładnie tak samo jest w Twoim zadaniu - wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) daje się podzielić z resztą przez \(\displaystyle{ (x+3)(x-5)}\), tzn. istnieje taki \(\displaystyle{ V(x)}\), że:
\(\displaystyle{ W(x)=(x+3)(x-5)\cdot V(x)+R(x)}\)
gdzie \(\displaystyle{ R(x)}\) jest wielomianem stopnia mniejszego niż \(\displaystyle{ (x+3)(x-5)}\), czyli jest postaci \(\displaystyle{ R(x)=ax+b}\)

Q.

[slawek5170]

nie mogę się połapać w tym zadaniu, mogę prosić o konkretną pomoc!

[piasek101]

Poczytaj podpowiedzi, popróbuj stworzyć jakieś równanie, pokaż co dostajesz.

[slawek5170]

acha już chyba wiem. stworzyłem układ równań i otzrymałem odpowiedź , że reszta jest liniowa i wynosi \(\displaystyle{ R=-2x+10}\). czy to będzie dobrze?

[piasek101]

Ok.