Wykaż że jeśli wielomian P(x)

[myther]

Wykaż że jeśli \(\displaystyle{ P(x)}\) jest wielomianem o współczynnikach całkowitych i wielomian \(\displaystyle{ Q(x)=P(x)+3}\) ma co najmniej cztery różne pierwiastki całkowite, to wielomian \(\displaystyle{ P(x)}\) nie ma pierwiastków całkowitych.

[Crizz]

Podejrzewam, że pojawiło się to już na Forum, ale...

Niech \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) będą czterema róznymi pierwiastkami całkowitymi wielomianu \(\displaystyle{ Q}\), wówczas można go przedstawić w postaci:
\(\displaystyle{ Q(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)W(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ W(x)}\) jest jakimś wielomianem o wspołczynnikach całkowitych. Wobec tego:
\(\displaystyle{ P(x)+3=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)W(x)}\)
Załóżmy (przez sprzeczność), że \(\displaystyle{ p}\) jest pierwiastkiem całkowitym \(\displaystyle{ P(x)}\), wówczas \(\displaystyle{ P(p)=0}\), czyli:
\(\displaystyle{ (p-a)(p-b)(p-c)(p-d)W(p)=1 \cdot 3}\)
Widać już, czemu taka równość nie może zachodzić?

[myther]

Czemu przy \(\displaystyle{ Q(x)}\) postawiony jest ten wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\)?

[piasek101]

Bo nie określono stopnia wielomianu \(\displaystyle{ Q(x)}\) i to dopisanie daje uogólnienie zadania.

[Inkwizytor]

Świetne jest to założenie o czterech różnych pierwiastkach, a nie (jakby się mogło wydawać na pierwszy rzut oka) o trzech

[myther]

Nie rozumiem za bardzo koncówki zadania. Dlaczego taka równość nie może zachodzić?

[Crizz]

Skoro \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) są różnymi pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ Q}\), to \(\displaystyle{ p-a,p-b,p-c,p-d}\) są różnymi liczbami całkowitymi. Zastanów się, jakimi konkretnymi liczbami musiałyby być \(\displaystyle{ p-a,p-b,p-c,p-d}\) oraz \(\displaystyle{ W(p)}\) (która przecież też jest liczbą całkowitą), żeby iloczyn tych pięciu liczb był równy \(\displaystyle{ 1 \cdot 3}\).

[myther]

Skoro są różnymi pierwiastkami, to nie ma takiego rozwiązania. Dziękuję za pomoc;)