Wielomiany - jedno pytanie dotyczące rysowania wykresów

sYa_TPS · Post autor: **sYa_TPS** » 16 lut 2011, o 23:47

Chodzi mi o wykresy który rysuje się w przypadku rozwiązywania nierówności.

Wiem, że wykres rysujemy od prawej strony. To czy zaczynamy rysować od góry czy dołu wykresu zależy od \(\displaystyle{ a^{n}}\)

I tutaj przykład: \(\displaystyle{ x^{4} + 9x^{2} + 30 > 0}\)

Tutaj \(\displaystyle{ a^{n} > 0}\) bo liczba przy najwyższej potędze jest większa od 0.

I teraz uwaga sedno mojego posta:

A co jest wtedy gdy mamy np. \(\displaystyle{ (16 - x^{2} ) ( x^{2} - 4 ) ( x^{2} + x + 1 )}\)

Hm? Wszędzie jest \(\displaystyle{ x^{2}}\) więc? Iloczyn miejsc zerowych?

Z góry dzięki za odpowiedź

rtuszyns · Post autor: **rtuszyns** » 16 lut 2011, o 23:50

Weź sobie liczbę mniejsza od najmniejszego pierwiastka i zbadaj znak wartości wielomianu w tym punkcie. Będziesz wiedzieć wtedy czy od dołu czy od góry zaczynać rysować (oczywiście mówię o lewej stronie).

sYa_TPS · Post autor: **sYa_TPS** » 16 lut 2011, o 23:55

Ale nie chodziło mi tutaj o konkretny przykład ale ok, zrobię tak jak napisałeś:

\(\displaystyle{ x = 4}\)lub\(\displaystyle{ x = -4}\)

\(\displaystyle{ x = 2}\)lub\(\displaystyle{ x = -2}\)

\(\displaystyle{ \delta < 0}\) więc nie ma miejsc zerowych

Najmniejszym miejscem zerowym jest -4 wiec biorę sobie np. -5.

Obliczam W(-5) tak? I jak wyjdzie na minusie to zaczynam od dołu? Jak wyjdzie na plusie to od góry?

Nie wiem czy Cię dobrze zrozumiałem

rtuszyns · Post autor: **rtuszyns** » 16 lut 2011, o 23:56

Dokładnie tak. Ta metoda chyba się nazywa siatką znaków.
Pamiętaj o odbiciach przy pierwiastkach parzystokrotnych

sYa_TPS · Post autor: **sYa_TPS** » 16 lut 2011, o 23:59

Ok - dziękuję Ci bardzo

A znasz może jakąś inną metodę? Broń Boże nie mówię, że ta jest zła ale chciałbym poznać kilka.

rtuszyns · Post autor: **rtuszyns** » 17 lut 2011, o 00:06

Można wielorako to określać. Dla mnie jest to chyba najszybsza, bo jak już masz rozłożony wielomian na czynniki liniowe i znasz pierwiastki, to łatwo podstawić i wyznaczyć znak wartości wielomianu dla liczby mniejszej od najmniejszego pierwiastka. Chodzi właśnie tylko o znak - wartość liczbowa nie jest ważna. Ja zawsze sobie wstawiam tę liczbę mniejszą od najmniejszego pierwiastka do czynników liniowych w rozkładzie danego wielomianu i badam znaki poszczególnych czynników liniowych a potem takie mnożenie samych znaków i wychodzi znak mi na koniec i wiem skąd startować

sYa_TPS · Post autor: **sYa_TPS** » 17 lut 2011, o 00:09

Ok. Myślę, że nauczycielka się nie obrazi, że stosuję tą metodę a ona jej nie podała

Dziękuje jeszcze raz.

rtuszyns · Post autor: **rtuszyns** » 17 lut 2011, o 00:18

Jeżeli odpowiednio metodę uzasadnisz, to myślę, że się nie obrazi... a może nawet pochwali

pawczar · Post autor: **pawczar** » 17 lut 2011, o 01:00

Jest szybszy sposób niż robienie rachunku znaków. Nie trzeba robić żadnych obliczeń ani tabelek. Zilustruję ten sposób na podanym przez Ciebie przykładzie.
\(\displaystyle{ (16-x ^{2})(x ^{2}-4)(x ^{2}+x+1)}\) = \(\displaystyle{ -(x ^{2}-16)(x ^{2}-4)(x ^{}+x+1)}\) = \(\displaystyle{ -(x+4)(x-4)(x+2)(x-2)(x ^{2}+x+1)}\). Trójmian \(\displaystyle{ x ^{2}+x+1}\) jest zawsze dodatni (bo delta ujemna, a dodatnie), więc o znaku decyduje pozostała część wielomianu. Ponieważ przed nawiasami jest minus, więc zaczynasz rysować "wężyk" od dołu.
Reasumując: 1) sprowadzasz wielomian do postaci iloczynu dwumianów i nierozkładalnych trójmianów
2) badasz wartości nierozkładalnych trójmianów trójmianów (albo zawsze dodatnie albo zawsze ujemne)
3) ustalasz wartość iloczynu trójmianów (ujemna lub dodatnia)
4) ustalasz znak całego wielomianu
Zawsze sprowadzaj dwumiany do postaci x+... lub x-...

rtuszyns · Post autor: **rtuszyns** » 17 lut 2011, o 01:04

Wydaje mi się, że nie jest to aż tak szybkie. Mamy już gotowy rozłożony na czynniki liniowe wielomian i sobie wstawiam, i szybko liczę, i nie muszę nic pamiętać, i żadnych tabelek...

pawczar · Post autor: **pawczar** » 17 lut 2011, o 01:09

To może skomplikownie wygląda, ale w gruncie rzeczy jest bardzo szybkie. Rzadko kiedy się zdarza, żeby były przykłady, że masz np. 4 nierozkładalne trójmiany. Zwykle jest tylko jeden i wtedy jest sprawa prosta. Mnie zrobienie tych przekształceń zajęło góra 20 sekund i już po nich wiedziałem że rysuję od dołu i nie muszę się bawić wstawiać jakiś liczb i zastanawiać się co wyjdzie.

rtuszyns · Post autor: **rtuszyns** » 17 lut 2011, o 01:38

Ale ja nie muszę się zastanawiać co wyjdzie. Jak mam już rozłożone na czynniki liniowe to szybciutko określam znaki poszczególnych czynników i po zabiegu... Aha i nie bawię się w dodatkowe rozkładanie na jakieś trójmiany, bo mam już gotowe (i tak trzeba znaleźć pierwiastki wielomianu) czynniki. Jestem przekonany, że mi zajmuje też góra 15-20 sekund określenie skąd zacząć rysowanie...

pawczar · Post autor: **pawczar** » 17 lut 2011, o 18:16

No nie wiem czy ci to tak szybko wyjdzie. Musisz policzyć i zobaczyć co wyjdzie - wstawiasz do każdego nawiasu za x np. -5 i liczysz, a ja niczego liczyć nie muszę (poza deltą w trójmianie, ale i tego w zasadzie nie muszę, bo każdy niepełny kwadrat sumy jest zawsze dodatni) Mnie tego sposobu w szkole nauczyli i zawsze go stosuję i zawsze dobrze mi wychodziło i nie musiałem żadnych znaków ustalać tylko jak mam przed nawiasami liczbę ujemną (albo sam minus) to rysuję od dołu, a jak nie mam żadnej liczby albo mam dodatnią to to rysuję od góry. Proste i szybkie.

sYa_TPS · Post autor: **sYa_TPS** » 22 lut 2011, o 23:02

@rtuszyns ale mam takie pytanie. W przykładzie \(\displaystyle{ x(x-3)(x+2) > 0}\) miejsca zerowe to -2,3,0. Więc biorę sobie -10 żeby podstawić i wychodzi minus razy minus razy minus więc powinienem rysować od dołu a jednak trzeba od góry.

Edit: teraz przeczytałem jeszcze raz.. zaczynam rysować wykres od lewej strony w tym przypadku?