Wyznaczanie liczby k

[R33]

Liczbę dodatnią k przedstaw w postaci sumy dwóch liczb x i y, aby suma sześcianów tych liczb była najmniejsza.

To ja zrobiłem tak:
\(\displaystyle{ k>0 \\ x+y=k \Leftrightarrow x=k-y \\ x^{3} + y^{3} \Leftrightarrow k(k^{2}-3ky+3y^{2})}\) i nie wiem co dalej robić?

[lukasz1804]

Skoro \(\displaystyle{ x^3+y^3}\) wyraża się wzorem \(\displaystyle{ k(k^2-3ky+3y^2)=3ky^2-3k^2y+k^3}\), to najmniejszą wartość osiąga dla \(\displaystyle{ y=-\frac{-3k^2}{2\cdot 3k}=\frac{k}{2}}\) (ze wzoru na odciętą wierzchołka paraboli). Stąd mamy \(\displaystyle{ x=k-y=\frac{k}{2}}\), tj. \(\displaystyle{ x=y=\frac{k}{2}}\).