Rówanie wielomianowe schematem Hornera

Jooe · Post autor: **Jooe** » 9 lut 2011, o 18:21

Umiem rozwiązać rówanie wielomianowe metodą rozkładania na czynniki, ale muszę jeszcze się nauczyć Metodą Hornera...

Proszę mi wytłumaczyć jak to się robi na takim przykładzie:

\(\displaystyle{ x ^{3} +4x ^{2} -2x-8=0}\)

ppolciaa17 · Post autor: **ppolciaa17** » 9 lut 2011, o 18:47

żeby posługiwać się tą metodą musisz znaleźć jeden pierwiastek(miejsce gdzie zeruje się ten wielomian)..
podstawiasz sobie wiec dzielniki -8... (1,-1,2,-2,4,-4,8,-8)... po sprawdzeniu wychodzi ze dla\(\displaystyle{ x=-4 \Rightarrow W(x)=0}\)

teraz robimy taką tabelkę

\(\displaystyle{ \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x^3& x^2& x& \\ \hline1&4&-2&-8\\ \hline1&0&-2&0\\ \hline\end{array}}\)

-pierwszy wiersz to potęgi x od największej do najmniejszej
-drugi wiersz to współczynniki przy tych potęgach..( gdy nprzykład w wielomianie nie ma x^2 to musimy go jednak uwzględnić w tabelce.. i we współczynniku po prostu piszemy 0 ... )
-trzeci wiersz w pierwszej rubryce przepisujemy to co wyżej czyli jak w tym zadaniu przy \(\displaystyle{ x^3}\) jest 1 to przepisujemy 1... dalej mnożymy \(\displaystyle{ 1 \cdot (-4)+}\) to co przy\(\displaystyle{ x^{2}}\) czyli 4 i wychodzi 0... dalej \(\displaystyle{ 0 \cdot (-4)+}\) to co przy \(\displaystyle{ x}\) i wychodzi -2 no i ostatnia operacja \(\displaystyle{ (-2) \cdot (-4)+}\) wyraz wolny czyli -8 co daje 0..

jesli na koncu wyszlo 0 to bardzo dobrze to znaczy ze wielomian prawidłowo w -4 zeruje się..

no i teraz wystarczy to zapisać jako wielomian.. wiemy ze (x+4) będzie jednym nawiasem w drugim będzie to co wpisywaliśmy do trzeciego wiersza ale pamiętając ze zmniejszamy potęgę o 1... czyli jak nasz wielomian był \(\displaystyle{ x^{3}}\) to tak teraz pierwszy współczynnik z tablicy będzie odpowiadał \(\displaystyle{ x^{2}}\) itd... oto wynik.. \(\displaystyle{ W(x) = (x+4)(x^{2}-2)}\)

oczywiście ostatni nawias można jeszcze rozłożyć ze wzoru skróconego mnożenia ..

Jooe · Post autor: **Jooe** » 9 lut 2011, o 19:07

czaję resztę tą tabelkę i potem liczby z tabelki się przepisuje... to już wiem o co chodzi ale nie mogę zrozumieć skąd się wzięło \(\displaystyle{ x=-4}\)

ppolciaa17 · Post autor: **ppolciaa17** » 9 lut 2011, o 19:24

bo musisz znaleść jeden pierwiastek żeby to działało... i jest takie twierdzonko że wielomian ma pierwiastek całkowity to ten pierwiastek jest dzielnikiem wyrazu wolnego... dlatego wypisałam ci wszystkie dzielniki -8 ... no i teraz podstawiając je po kolei do wielomianu sprawdzasz dla którego wyszło 0..

wyszlo dla -4

\(\displaystyle{ W(-4)=(-4)^{3}+4(-4)^{2}-2(-4)-8=0}\) i teraz wiesz ze jest on jedym z pierwiastków i wiesz przez co bedziesz mnożyć w schemacie Hornera

pawczar · Post autor: **pawczar** » 12 lut 2011, o 23:53

A po co się tak męczyć z tymi tabelkami. Nie prościej wyłączyć z pierwszych dwóch składników \(\displaystyle{ x ^{2}}\) a z następnych dwóch \(\displaystyle{ -2}\) i masz w obu nawiasach \(\displaystyle{ x+4}\). Potem robisz z tego \(\displaystyle{ (x+4)}\) \(\displaystyle{ (\(\displaystyle{ x ^{2}}\)-2}\) i masz 3 pierwiastki równania.-- 12 lutego 2011, 23:55 --(x+4)(x^2 - 2)

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 13 lut 2011, o 11:28

Przecież chodziło o poznanie metody (Horner) - a nie rozwiązanie jako takie.