równania wielomianowe

FEMUS · Post autor: **FEMUS** » 12 gru 2006, o 18:04

1 \(\displaystyle{ 24x^{3}-10x^{2}-3x+1=0}\)

jakiej metody użyć aby rozwiązać to równanie?

2 Znajdż wszystkie wielomiany W(x) 3 stopnia jednej zmiennej z których każdy spełnia dla dowolnej pary liczb rzeczywistych r, s następujące warunki:

\(\displaystyle{ W_{(r+s)}=W_{r}+W_{s}+6rs(r+s)-1}\)
\(\displaystyle{ W_{(-1)}=4}\)

a jak to zadanie rozwiązać nie mam zielonego pojęcia , jeśli ktoś wie jak to zrobić to będe bardzo wdzięczny

setch · Post autor: **setch** » 12 gru 2006, o 18:37

1. Musisz skorzystac z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych najprawdopodbniej a potem twierdzenia Bezout.

Lorek · Post autor: **Lorek** » 12 gru 2006, o 21:39

A 2 jest łatwe
Jest to wielomian 3 stopnia, więc wyglada tak
\(\displaystyle{ W(x)=ax^3+bx^2+cx+d}\)
Wiadomo, że \(\displaystyle{ W(-1)=4}\), z drugiej strony
\(\displaystyle{ W(-1)=W(-1+0)=W(-1)+W(0)+6(-1)(0)(-1+0)-1}\)
(na podstawie 1 równania), a stąd wynika, że
\(\displaystyle{ W(0)=1}\)
teraz z kolei policzymy \(\displaystyle{ W(-2)}\) i \(\displaystyle{ W(-3)}\)
\(\displaystyle{ W(-2)=W[-1+(-1)]=W(-1)+W(-1)+6(-1)(-1)(-1-1)-1=\\=8-13=-5\\\\W(-3)=W[-1+(-2)]=W(-1)+W(-2)+6(-1)(-2)(-1-2)-1=\\=4-5-36-1=-38}\)
Mamy więc układ
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}W(0)=1\\W(-1)=4\\W(-2)=-5\\W(-3)=-38\end{array}}\)
wiemy ponadto, że
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}W(0)=d\\W(-1)=-a+b-c+d\\W(-2)=-8a+4b-2c+d\\W(-3)=-27a+9b-3c+d\end{array}}\)
więc układ ostatecznie wyglada tak
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}d=1\\-a+b-c+d=4\\-8a+4b-2c+d=-5\\-27a+9b-3c+d=-38\end{array}}\)
z tego wyznaczamy wielomian