Oblicz resztę z dzielenia

Axadiw · Post autor: **Axadiw** » 12 gru 2006, o 18:04

Witam, takie zadanko:

Wielomian W(x) przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ x^2-3x-4, x^2+3x-4}\) daje reszty odpowiednio \(\displaystyle{ -2x+4,2+x}\) Oblicz resztę z dzielenia W(x) przez \(\displaystyle{ x^4-17x^2+16}\)

Nie prosze o całą odpowiedź, bo kiedys umiałem to robić, zapomniałem jedynie metody, jakby ktos naprowadził to nagrodzę "pomógł"

Przy okazji dalbym odpowiedz i jakby ktos sprawdził to drugi pomógł bedzie

Lorek · Post autor: **Lorek** » 12 gru 2006, o 21:49

Wielomian W mozna zapisać jako
\(\displaystyle{ W(x)=(x^2-3x-4)Q(x)-2x+4=(x-4)(x+1)Q(x)-2x+4\\W(x)=(x^2+3x-4)Q_1(x)+2+x=(x+4)(x-1)Q_1(x)+2+x\\W(x)=(x^4-17x^2+16)Q_2(x)+ax^3+bx^2+cx+d=\\=(x-1)(x+1)(x-4)(x+4)Q_2(x)+ax^3+bx^2+cx+d}\)
z pierwszych dwóch postaci wyznaczysz wartości wielomianu dla pewnych x, a potem wykorzystasz to w 3 postaci.

Axadiw · Post autor: **Axadiw** » 13 gru 2006, o 14:52

reszta ta wynosi

\(\displaystyle{ -\frac{1}{12}x^3 + \frac{1}{6}x^2 -1\frac{5}{12}x + 4\frac{1}{3}}\) (przynajmniej tak mi wyszło )

Ułożyłem układ 4 równań, i rozwiązywałem 20 minut.....Pamietam ze jest to dobra metoda, lecz da sie to szybciej zrobić?

Jakby ktos sprawdził czy mam dobry wynik to otrzyma odemnie "pomógł"

Lorek · Post autor: **Lorek** » 13 gru 2006, o 16:01

No niestety, ale wynik jest inny A ten układ można szybko i łatwo rozwiązać, jeśli zauważy się pewną zależność.

Axadiw · Post autor: **Axadiw** » 13 gru 2006, o 20:16

oświeć mnie, mam oprocz tego 9 innych zadan na sprawdzian, wiec nie chciałbym sie cofać:D

Bede mial takie same zadania(jeśli chodiz o treść) lecz z innymi danymi. Tak więc poznanie metody byłoby duzym ułatwieniem;]

Lorek · Post autor: **Lorek** » 13 gru 2006, o 20:27

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}W(4)=64a+16b+4c+d=-4\\W(-1)=-a+b-c+d=6\\W(-4)=-64a+16b-4c+d=-2\\W(1)=a+b+c+d=3\end{array}}\)
Odejmując stronami 1i3 oraz 2i4 otrzymasz układ 2 równań z 2 niewiadomymi, z kolei dodając stronami 1i3 oraz 2i4 też otrzymasz układ 2 równań z 2 niewiadomymi (ale juz innymi).

Axadiw · Post autor: **Axadiw** » 13 gru 2006, o 20:32

dzieki, serio mówiąc to tez zauwazylem tą zależność w jednej parze równań, ale jak zauwazylem ze nie skrócą mi sie tam wszyskite oprócz jednej zmienne, to porzuciłem ten pomysł

Anyway, dzieki