Równanie z parametrem

[envicious]

Dla jakich wartości k równanie :
\(\displaystyle{ 2x+ \frac{27}{ x^{2} }=k}\)
ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste.

Bede bardzo wdzięczny jeśli ktoś zamieści sposób rozwiązania tego zadania , mile widziane również wskazówki (coś w stylu delty dla wielomianu stopnia 2, ze >0 to sa 2 pierwiastki etc.)

[mazurxD]

policz pierwiastki tego wielomianu w zależności od parametru k (korzystając z wzorów Viete'a)

[envicious]

To już wiem, że otrzymuje:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1} +x_{2}+x_{3}= \frac{k}{2} \\x_{1}*x_{2}*x_{3}=\frac {-27}{2} \\ x_{1}*x_{2}+x_{1}*x_{3}+x_{2}*x_{3}=0 \end{cases}}\)
ale nie mam pojęcia co z tym zrobić dalej, jak to zależy od współczynnika k, kiedy sa 3 pierwiastki, kiedy 2, kiedy 1 a kiedy w ogole nie ma pierwiastków rzeczywistych.

[Simon86]

z kąd ci wychodzi że \(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} + x_{3} = \frac{k}{2}}\) ?

[envicious]

Wzory Viete'a dla wielomianu 3 stopnia :

\(\displaystyle{ x_{1}+ x_{2}+ x_{3}= \frac{-b}{a}}\)

a z:

\(\displaystyle{ 2x+ \frac{27}{x^2}=k \Rightarrow 2x^3+27=kx^2 \Rightarrow 2x^3-kx^2+0x+27=0}\)
mamy, że \(\displaystyle{ b=-k \Rightarrow -b=k}\)

[mazurxD]

z kąd ci wychodzi że \(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} + x_{3} = \frac{k}{2}}\) ?

z wzorów Viete'a

ale nie mam pojęcia co z tym zrobić dalej, jak to zależy od współczynnika k, kiedy sa 3 pierwiastki, kiedy 2, kiedy 1 a kiedy w ogole nie ma pierwiastków rzeczywistych.

spróbuj wyznaczyć \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, x_{3}}\) w zależności od k, i później je porównać, istnieją 3 różne, jeśli nie są parami równe, trochę trzeba się naliczyć, więc nie wiem, czy to najlepszy pomysł, chyba nie do końca trafiony, tak na szybko napisałem

[envicious]

spróbuj wyznaczyć \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, x_{3}}\) w zależności od k, i później je porównać, istnieją 3 różne, jeśli nie są parami równe, trochę trzeba się naliczyć, więc nie wiem, czy to najlepszy pomysł, chyba nie do końca trafiony, tak na szybko napisałem

Z tego "trochę się trzeba naliczyć" to sobie zdaje sprawe, dlatego Viete'a chce zostawić na sam koniec, jak już nie znajde żadnej innej metody, i pisze tutaj w poszukiwaniu mózga-geniusza co zna(jdzie) szybsze rozwiązanie tego problemu

[Simon86]

Przy założeniu że k jest całkowite to
Można skorzystać z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych: Jeśli wielomian ma pierwiastek wymierny \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) to \(\displaystyle{ p}\) jest dzielnikiem wyrazu wolnego, zaś \(\displaystyle{ q}\) dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze.

Więc możemy napisać że ten wielomian ma pierwiastek wymierny \(\displaystyle{ x = \frac{3}{2}}\)

Po podzieleniu przez \(\displaystyle{ (x - \frac{3}{2})}\) i rozłożeniu na czynniki otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 2x^{3} - k x^{2} + 27 = (x - \frac{3}{2})[2x^{2} + (3-k)x + \frac{3}{2}(3-k)]}\)

i z tego \(\displaystyle{ 2x^{2} + (3-k)x + \frac{3}{2}(3-k)}\)
wyliczyć dla jakich dla jakich k delta jest większa od zera a trzecim pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\)

Ale nie jestem pewny czy tak się powinno tutaj postępować ale może podpowiedziałem komuś kto rozwiąże problem do końca

[janusz47]

\(\displaystyle{ W(x) = 2x^3 - kx^2 +27}\)
\(\displaystyle{ a = 2 > 0}\)
Warunkiem koniecznym na to aby wielomian W miał trzy różne miejsca zerowe \(\displaystyle{ x_{1} \neq x_{2} \neq x_{3}}\)
jest aby istniał taki punkt \(\displaystyle{ p}\) w którym
\(\displaystyle{ W'(p) = 0}\) i \(\displaystyle{ W"(p) > 0}\) - wielomian miał w p minimum lokalne.
\(\displaystyle{ W'(x) = 6x^2 - 2kx = 2x(3x - k ) = 0 \rightarrow( x = \frac{k}{3} \vee x = 0 )}\)
\(\displaystyle{ W"(x) = 12x - 2k}\)
\(\displaystyle{ W"(k/3) = 4k -2k = 2k > 0 \rightarrow k > 0}\)
zaś w punkcie 0
\(\displaystyle{ W"(0) = -2k < 0 \rightarrow k> 0 .}\)
Warunkiem koniecznym aby wielomian ma trzy rózne miejsca zerowe, gdy \(\displaystyle{ k> 0.}\)
i dalej jak zaproponował Simon 86