Ułamki proste - wystarczy zakryć.
: 7 lut 2011, o 18:36
Inna metoda znajdowania ułamków prostych.
Np. ułamek : \(\displaystyle{ \,\, \,\, \frac{4x - 5}{(x + 1 ) \, ( x - 2 )} = \frac{3}{x + 1} + \frac{1}{ x - 2 } \,\,\,}\) ;
Poniższa metoda pozwoli na znajdowanie odpowiednich ułamków prostych przez wykonanie pewnych działań w pamięci.
W przykładzie, należy znaleźć takie liczby A i B , dla których:
\(\displaystyle{ \,\, \,\, \frac{4x - 5}{(x + 1 ) \, ( x - 2 )} \equiv \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{ x - 2 } \,\,\,}\) ;
Powyższa równoważność oznacza, że \(\displaystyle{ \,\, \,\, \frac{4x - 5}{ ( x - 2 )} \equiv A + \frac{B \, ( x + 1 )}{ x - 2 } \,\,\,}\) - ( równoważność wyjściowa pomnożona przez \(\displaystyle{ \,\,\, ( x + 1 )) \,\,}\) ;
Podstawiając teraz za "x" dowolną liczbę, z wyjątkiem 2 ( w tym przypadku ), musimy otrzymać dokładnie takie same liczby po prawej i po lewej stronie.
Wybieramy podstawienie \(\displaystyle{ \,\,\, x = -1 \,\,}\) , i otrzymujemy: \(\displaystyle{ \,\,\, \frac{-9}{-3} = A \,\,\,}\) czyli \(\displaystyle{ \,\,\, A = 3 \,\,}\).
Aby znaleźć wartość B, mnożymy wyjściową równoważność przez \(\displaystyle{ \,\,\, ( x - 2 ) \,\,\,}\), a następnie podstawiamy \(\displaystyle{ \,\,\, x = 2 \,\,\,}\).
Otrzymujemy: \(\displaystyle{ \,\,\, B = \frac{8 - 5}{2 + 1} = 1}\).
Zasada jest następująca: zakryj w podanym ułamku nawias ( x - 2 ), a następnie w ułamku, który widać po tym zakryciu, za x podstaw 2 . W ten sposób otrzymujemy licznik ułamka prostego o mianowniku ( x - 2 ).
Przykład:
Ułamek \(\displaystyle{ \,\,\, \frac{4 \, x^{2} - 11 \, x - 18 }{x \, (x + 2 ) \, ( x - 3 )} \,\,\,}\) przedstaw w postaci ułamków prostych.
Na początku piszemy:
\(\displaystyle{ \,\, \frac{4 \, x^{2} - 11 \, x - 18 }{x \, (x + 2 ) \, ( x - 3 )} \equiv \frac{}{x} + \frac{}{x + 2} + \frac{}{x - 3}}\)
Zakrywamy teraz czynnik x w mianowniku ułamka i do reszty podstawiamy ( x = 0 ). W wyniku otrzymujemy: \(\displaystyle{ \,\,\,\, \frac{-18}{2 \cdot (-3)} = 3 \,\,\,}\).
Liczbę 3 zapisujemy w liczniku nad x z prawej strony powyższej równoważności.
Następnie zakrywamy czynnik ( x + 2 ) i podstawiamy ( x = -2 ) ; wynik: \(\displaystyle{ \,\,\,\frac{16 + 22 - 18}{( -2 ) \cdot ( -5 )} = \frac{20}{10} = 2 \,\,\,}\) - jest drugim licznikiem, którego poszukiwaliśmy.
Trzeci jest równy -1.
Końcowy rozkład jest następujący:
\(\displaystyle{ \,\, \frac{4 \, x^{2} - 11 \, x - 18 }{x \, (x + 2 ) \, ( x - 3 )} \equiv \frac{3}{x} + \frac{2}{x + 2} + \frac{-1}{x - 3}}\).
Jeżeli chcemy sprawdzić, czy dobrze wykonaliśmy rozkład, za x podstawiamy jakąkolwiek liczbę, z wyjątkiem tych, które już wykorzystaliśmy, np. \(\displaystyle{ \,\,\, x = 2 \rightarrow 3 = 3}\).
PS.
Metoda zaczerpnięta z podręcznika: " Matematyka w szkole średniej" T - 3, w przekładzie z jęz. angielskiego Wojciecha Jędrychowskiego.
WSiP W-wa 1988.
Np. ułamek : \(\displaystyle{ \,\, \,\, \frac{4x - 5}{(x + 1 ) \, ( x - 2 )} = \frac{3}{x + 1} + \frac{1}{ x - 2 } \,\,\,}\) ;
Poniższa metoda pozwoli na znajdowanie odpowiednich ułamków prostych przez wykonanie pewnych działań w pamięci.
W przykładzie, należy znaleźć takie liczby A i B , dla których:
\(\displaystyle{ \,\, \,\, \frac{4x - 5}{(x + 1 ) \, ( x - 2 )} \equiv \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{ x - 2 } \,\,\,}\) ;
Powyższa równoważność oznacza, że \(\displaystyle{ \,\, \,\, \frac{4x - 5}{ ( x - 2 )} \equiv A + \frac{B \, ( x + 1 )}{ x - 2 } \,\,\,}\) - ( równoważność wyjściowa pomnożona przez \(\displaystyle{ \,\,\, ( x + 1 )) \,\,}\) ;
Podstawiając teraz za "x" dowolną liczbę, z wyjątkiem 2 ( w tym przypadku ), musimy otrzymać dokładnie takie same liczby po prawej i po lewej stronie.
Wybieramy podstawienie \(\displaystyle{ \,\,\, x = -1 \,\,}\) , i otrzymujemy: \(\displaystyle{ \,\,\, \frac{-9}{-3} = A \,\,\,}\) czyli \(\displaystyle{ \,\,\, A = 3 \,\,}\).
Aby znaleźć wartość B, mnożymy wyjściową równoważność przez \(\displaystyle{ \,\,\, ( x - 2 ) \,\,\,}\), a następnie podstawiamy \(\displaystyle{ \,\,\, x = 2 \,\,\,}\).
Otrzymujemy: \(\displaystyle{ \,\,\, B = \frac{8 - 5}{2 + 1} = 1}\).
Zasada jest następująca: zakryj w podanym ułamku nawias ( x - 2 ), a następnie w ułamku, który widać po tym zakryciu, za x podstaw 2 . W ten sposób otrzymujemy licznik ułamka prostego o mianowniku ( x - 2 ).
Przykład:
Ułamek \(\displaystyle{ \,\,\, \frac{4 \, x^{2} - 11 \, x - 18 }{x \, (x + 2 ) \, ( x - 3 )} \,\,\,}\) przedstaw w postaci ułamków prostych.
Na początku piszemy:
\(\displaystyle{ \,\, \frac{4 \, x^{2} - 11 \, x - 18 }{x \, (x + 2 ) \, ( x - 3 )} \equiv \frac{}{x} + \frac{}{x + 2} + \frac{}{x - 3}}\)
Zakrywamy teraz czynnik x w mianowniku ułamka i do reszty podstawiamy ( x = 0 ). W wyniku otrzymujemy: \(\displaystyle{ \,\,\,\, \frac{-18}{2 \cdot (-3)} = 3 \,\,\,}\).
Liczbę 3 zapisujemy w liczniku nad x z prawej strony powyższej równoważności.
Następnie zakrywamy czynnik ( x + 2 ) i podstawiamy ( x = -2 ) ; wynik: \(\displaystyle{ \,\,\,\frac{16 + 22 - 18}{( -2 ) \cdot ( -5 )} = \frac{20}{10} = 2 \,\,\,}\) - jest drugim licznikiem, którego poszukiwaliśmy.
Trzeci jest równy -1.
Końcowy rozkład jest następujący:
\(\displaystyle{ \,\, \frac{4 \, x^{2} - 11 \, x - 18 }{x \, (x + 2 ) \, ( x - 3 )} \equiv \frac{3}{x} + \frac{2}{x + 2} + \frac{-1}{x - 3}}\).
Jeżeli chcemy sprawdzić, czy dobrze wykonaliśmy rozkład, za x podstawiamy jakąkolwiek liczbę, z wyjątkiem tych, które już wykorzystaliśmy, np. \(\displaystyle{ \,\,\, x = 2 \rightarrow 3 = 3}\).
PS.
Metoda zaczerpnięta z podręcznika: " Matematyka w szkole średniej" T - 3, w przekładzie z jęz. angielskiego Wojciecha Jędrychowskiego.
WSiP W-wa 1988.